Cho hàm số y = x - 3/x + 2 có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến d của đồ thị ( C) trong mỗi trường hợp sau

Bài 23 trang 74 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hàm số $y=\frac{x-3}{x+2}$có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến d của đồ thị ( C) trong mỗi trường hợp sau:

a) d song song với đường thẳng y = 5x – 2;

b) d vuông góc với đường thẳng y = –20x + 1.

Trả lời

Ta có: $y^{\text{'}}\left(x\right)=\frac{5}{{\left(x+2\right)}^2}.$

a) Vì d song song với đường thẳng y = 5x – 2 nên đường thẳng d có hệ số bằng 5.

Do đó $\frac{5}{{\left(x+2\right)}^2}=5\iff {\left(x+2\right)}^2=1\iff \left[\begin{array}{l}x+2=1\\ x+2=-1\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}x=-1\\ x=-3\end{array}\right..$

⦁ Với x = –1 thì $y\left(-1\right)=\frac{\left(-1\right)-3}{\left(-1\right)+2}=\frac{-4}{1}=-4.$

Phương trình tiếp tuyến d của đồ thị (C) tại điểm M­₁(–1; –4) là:

y = 5(x + 1) + (–4), hay y = 5x + 1.

⦁ Với x = –3 thì $y\left(-3\right)=\frac{\left(-3\right)-3}{\left(-3\right)+2}=\frac{-6}{-1}=6.$

Phương trình tiếp tuyến d của đồ thị (C) tại điểm M₂(–3; 6) là:

y = 5(x + 3) + 6, hay y = 5x + 21.

b) Vì d vuông góc với đường thẳng y = –20x + 1 nên đường thẳng d có hệ số bằng $\frac{-1}{-20}=\frac{1}{20}.$

Do đó $\frac{5}{{\left(x+2\right)}^2}=\frac{1}{20}\iff {\left(x+2\right)}^2=100\iff \left[\begin{array}{l}x+2=10\\ x+2=-10\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}x=8\\ x=-12\end{array}\right.$

⦁ Với x = 8 thì $y\left(8\right)=\frac{8-3}{8+2}=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}.$

Phương trình tiếp tuyến d của đồ thị (C) tại điểm $M_3\left(8;\frac{1}{2}\right)$ là:

$y=\frac{1}{20}\left(x-8\right)+\frac{1}{2},$ hay $y=\frac{1}{20}x+\frac{1}{10}.$

⦁ Với x = –12 thì $y\left(-12\right)=\frac{\left(-12\right)-3}{\left(-12\right)+2}=\frac{-15}{-10}=\frac{3}{2}.$

Phương trình tiếp tuyến d của đồ thị (C) tại điểm $M_4\left(-12;\frac{3}{2}\right)$ là:

$y=\frac{1}{20}\left(x+12\right)+\frac{3}{2},$ hay $y=\frac{1}{20}x+\frac{21}{10}.$

Xem thêm các bài giải SBT Toán lớp 11 Cánh diều hay, chi tiết khác: