Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hai điểm A(3; 4), B(8; 6). Kẻ đường phân giác trong OD của tam giác OAB

Bài 12 trang 72 SBT Toán 10 Tập 2: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hai điểm A(3; 4), B(8; 6). Kẻ đường phân giác trong OD của tam giác OAB (D thuộc đoạn AB).

a) Tính OA, OB.

b) Chứng minh rằng $\overrightarrow{OD}=\frac{2}{3}\overrightarrow{OA}+\frac{1}{3}\overrightarrow{OB}$ .

c) Tìm toạ độ điểm D.

Trả lời

a) Ta có: A(3; 4), suy ra $\overrightarrow{OA}=\left(3;\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}4\right)$ , do đó OA = $\sqrt{3^2+4^2}=5$ .

B(8; 6), suy ra $\overrightarrow{OB}=\left(8;6\right)$ , do đó OB = $\sqrt{8^2+6^2}$ = 10.

b) Do OD là đường phân giác trong của tam giác OAB nên theo tính chất đường phân giác ta có: $\frac{AD}{BD}=\frac{OA}{OB}=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}$ .

Suy ra: BD = 2AD.

Mặt khác do D thuộc đoạn AB nên hai vectơ $\overrightarrow{AD},\overrightarrow{BD}$  ngược hướng.

Do vậy, $\overrightarrow{BD}=-2\overrightarrow{AD}$ .

Mà $\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OB}$ ; $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OA}$ .

Từ đó ta có: $\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OB}=-2\left(\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OA}\right)$

$\iff 3\overrightarrow{OD}=2\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$

$\iff \overrightarrow{OD}=\frac{2}{3}\overrightarrow{OA}+\frac{1}{3}\overrightarrow{OB}$  (đpcm).

c) Gọi D(x; y), do $\overrightarrow{OD}=\frac{2}{3}\overrightarrow{OA}+\frac{1}{3}\overrightarrow{OB}$ , suy ra: $\left\{\begin{array}{l}x=\frac{2}{3}{x}_A+\frac{1}{3}{x}_B\\ y=\frac{2}{3}{y}_A+\frac{1}{3}{y}_B\end{array}\right.$ .

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}x=\frac{2}{3}.3+\frac{1}{3}.8=\frac{14}{3}\\ y=\frac{2}{3}.4+\frac{1}{3}.6=\frac{14}{3}\end{array}\right.$.

Vậy $D\left(\frac{14}{3};\frac{14}{3}\right)$ .

Xem thêm các bài giải SBT Toán lớp 10 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Bài 25: Nhị thức Newton

Ôn tập chương 8

Bài 26: Biến cố và định nghĩa cổ điển của xác suất

Bài 27: Thực hành tính xác suất theo định nghĩa cổ điển

Bài tập cuối chương 9

Bài tập ôn tập cuối năm