Cho đường thẳng ∆: 3x + 4y – 25 = 0. Gọi (C) là đường tròn tâm O và tiếp xúc với ∆. a) Viết phương trình

Bài 14 trang 72 SBT Toán 10 Tập 2: Cho đường thẳng ∆: 3x + 4y – 25 = 0. Gọi (C) là đường tròn tâm O và tiếp xúc với ∆.

a) Viết phương trình đường tròn (C).

b) Tìm toạ độ tiếp điểm H của ∆ và (C).

Trả lời

a) Do đường tròn (C) tiếp xúc với ∆ nên bán kính của đường tròn (C) bằng:

R = d(O, ∆) = $\frac{\left|3.0+4.0-25\right|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\frac{25}{5}=5$ .

Vậy phương trình đường tròn (C) là: (x – 0)² + (y – 0)²  = 5² hay x² + y² = 25.

b) Vì ∆ tiếp xúc với (C) tại điểm H nên ta có OH ⊥ ∆. Do đó, $\overrightarrow{u_{OH}}=\overrightarrow{n_{\Delta }}=\left(3;4\right)$ .

Suy ra một vectơ pháp tuyến của đường thẳng OH là $\overrightarrow{n_{OH}}=\left(4;-3\right)$ .

Phương trình của đường thẳng OH là: 4(x – 0) – 3(y – 0) = 0 hay 4x – 3y = 0.

Vì H là giao điểm của ∆ và OH nên tọa độ của điểm H là nghiệm của hệ phương trình

$\left\{\begin{array}{l}3x+4y-25=0\\ 4x-3y=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=3\\ y=4\end{array}\right.$.

Vậy H(3; 4).

Xem thêm các bài giải SBT Toán lớp 10 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Bài 25: Nhị thức Newton

Ôn tập chương 8

Bài 26: Biến cố và định nghĩa cổ điển của xác suất

Bài 27: Thực hành tính xác suất theo định nghĩa cổ điển

Bài tập cuối chương 9

Bài tập ôn tập cuối năm