Chuyển động của một vật thể trong khoảng thời gian 180 phút được thể hiện trong mặt phẳng toạ độ

Bài 15 trang 73 SBT Toán 10 Tập 2: Chuyển động của một vật thể trong khoảng thời gian 180 phút được thể hiện trong mặt phẳng toạ độ. Theo đó, tại thời điểm t (0 ≤ t ≤ 180), vật thể có vị trí toạ độ (4cos t°; 3sin t°).

a) Tìm vị trí ban đầu và vị trí kết thúc của vật thể.

b) Tìm quỹ đạo chuyển động của vật thể.

Trả lời

a) Vị trí ban đầu của vật thể ứng với t = 0, suy ra vật thể ở vị trí có tọa độ là A₁(4; 0) (do 4cos 0° = 4 và 3sin 0° = 0).

Vị trí kết thúc của vật thể ứng với t = 180, suy ra vật thể ở vị trí có tọa độ là A₂(– 4; 0) (do 4cos 180° = – 4 và 3sin 180° = 0).

b) Vì vật thể có vị trí toạ độ (4cos t°; 3sin t°).

Do đó, với một điểm M bất kì thuộc quỹ đạo chuyển động của vật thể ta có:

x_M = 4cos t°, y_M = 3sin t°.

Khi đó từ đẳng thức: sin² t° + cos² t° = 1 hay (sin t°)² + (cos t°)² = 1, ta suy ra:

${\left(\frac{y_M}{3}\right)}^2+{\left(\frac{x_M}{4}\right)}^2=1\iff \frac{x_M^2}{16}+\frac{y_M^2}{9}=1$.

Do đó, vật thể chuyển động trên đường elip (E) có phương trình $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1$ .

Khi t thay đổi trên đoạn [0; 180] thì sin t° thay đổi trên đoạn [0; 1] và cos t° thay đổi trên đoạn [– 1; 1]. Do đó, 4cos t° ∈ [– 4; 4] và 3sin t° ∈ [0; 3].

Vậy quỹ đạo vật thể (hay là tập hợp điểm M) là nửa đường elip (E) nằm trên trục hoành. 

Xem thêm các bài giải SBT Toán lớp 10 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Bài 25: Nhị thức Newton

Ôn tập chương 8

Bài 26: Biến cố và định nghĩa cổ điển của xác suất

Bài 27: Thực hành tính xác suất theo định nghĩa cổ điển

Bài tập cuối chương 9

Bài tập ôn tập cuối năm