Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) tâm O, bán kính bằng 1. Một đường thẳng d thay đổi, luôn vuông góc với trục hoành

Vận dụng 3 trang 84 Toán 11 Tập 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) tâm O, bán kính bằng 1. Một đường thẳng d thay đổi, luôn vuông góc với trục hoành, cắt trục hoành tại điểm M có hoành độ x (– 1 < x < 1) và cắt đường tròn (C) tại các điểm N và P (xem Hình 6).

a) Viết biểu thức S(x) biểu thị diện tích của tam giác ONP.

b) Hàm số y = S(x) có liên tục trên (– 1; 1) không? Giải thích.

c) Tìm các giới hạn $\underset{x\to 1^{-}}{\lim }S\left(x\right)$ và $\underset{x\to -1^{+}}{\lim }S\left(x\right)$.

Trả lời

a) Xét tam giác OMN vuông tại M có:

MN = $\sqrt{O{N}^2-O{M}^2}=\sqrt{1-x^2}$

$\Rightarrow NP=2\sqrt{1-x^2}$

Diện tích của tam giác ONP là:

S(x) = $\frac{1}{2}$.NP.OM = $\frac{1}{2}$.2.$\sqrt{1-x^2}$.x = x$\sqrt{1-x^2}$

b) Trên (– 1; 1) hàm số y = $\sqrt{1-x^2}$ xác định và liên tục và hàm số y = x liên tục.

Do đó hàm số S(x) liên tục trên (– 1; 1).

c) Ta có:

$\underset{x\to -1^{+}}{\text{lim}}\text{S}\left(x\right)=\underset{x\to -1^{+}}{\text{lim}}\left(\sqrt{1-x^2}.x\right)=0$

$\underset{x\to 1^{-}}{\text{lim}}\text{S}\left(x\right)=\underset{x\to 1^{-}}{\text{lim}}\left(\sqrt{1-x^2}.x\right)=0$.

Xem thêm các bài giải SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Bài 1: Giới hạn của dãy số

Bài 2: Giới hạn của hàm số

Bài 3: Hàm số liên tục

Bài tập cuối chương 3

Bài 1: Điểm, đường thẳng và mặt phẳng trong không gian

Bài 2: Hai đường thẳng song song