Giải Toán 11 Bài 2: Hai đường thẳng song song
Lời giải:
Sau khi học xong bài học này ta có thể trả lời được câu hỏi trên là:
+) Đường thẳng a và b là hai đường thẳng chéo nhau.
+) Đường thẳng b và c là hai đường thẳng song song.
+) Đường thẳng c và d là hai đường thẳng đồng phẳng.
1. Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian
b) Cho tứ diện ABCD. Hai đường thẳng AB và CD có cùng nằm trong bất kì mặt phẳng nào không?
Lời giải:
a) Các trường hợp có thể xảy ra đối với hai đường thẳng a và b cùng nằm trong một mặt phẳng là:
+) Hình 1a): Hai đường thẳng a và b trùng nhau.
+) Hình 1b): Hai đường thẳng a và b cắt nhau tại một điểm M.
+) Hình 1c): Hai đường thẳng a và b song song.
b) Hai đường thẳng AB và CD không cùng nằm trong một mặt phẳng nào cả.
a) AB và CD;
b) SA và SC;
c) SA và BC.
Lời giải:
a) Trong mặt phẳng (ABCD) có nên AB // CD (vì ABCD là hình bình hành).
b) Trong mặt phẳng (SAC) có: SA cắt SC tại S.
c) Giả sử SA và BC cùng nằm trong mặt phẳng (P).
Suy ra (P) chưa bốn đỉnh của tứ diện SABC. Điều này là vô lí.
Vậy SA và BC không nằm trong bất kì mặt phẳng nào, suy ra SA và BC chéo nhau.
Lời giải:
+) Hai đường thẳng a và b nằm trong mặt phẳng phía trên của cầu sắt và song song với nhau.
+) Hai đường thẳng c và d nằm trong mặt phẳng phía trên của cầu sắt và cắt nhau tại điểm A.
+) Hai đường thẳng e và f không cùng nằm trong một mặt phẳng nên e và f là hai đường thẳng chéo nhau.
2. Tính chất cơ bản về hai đường thẳng song song
b) Cho ba mặt phẳng (P), (Q), (R) cắt nhau theo ba giao tuyến a, b, c phân biệt với a = (P) ∩ (R); b = (Q) ∩ (R); c = (P) ∩ (Q) (Hình 8).
Nếu a và b có điểm chung M thì điểm M có thuộc c không?
Lời giải:
a) Ta có:
(P) = mp(M, d) nên (P) xác định duy nhất.
(Q) = mp(d, d’), mà M ∈ d’ nên (Q) = mp(M, d). Do đó (P) và (Q) trùng nhau.
b) Ta có: 
Mà c = (P) ∩ (Q) nên M ∈ c.
Lời giải:
Ta có ADMS là hình thang nên SM // AD
Do trong không gian chỉ có duy nhất một đường thẳng đi qua S và song song với AD nên SM phải trùng với d.
Mà SM ⊂ (SAD)
Do đó d ⊂ (SAD).
Trong không gian, cho ba đường thẳng a, b, c không đồng phẳng, a và b cùng song song với c. Gọi M là điểm thuộc a, d là giao tuyến của mp(a, c) và mp(M, b) (Hình 13 b). Do b // c nên ta có d//b và d//c. Giải thích tại sao d phải trùng với a. Từ đó, nêu kết luận về vị trí giữa a và b.
Lời giải:
Ta có: mp(a, c) = mp(M, c) và mp(a, b) = mp(m, b)
Mà d là giao tuyến của mp(a, c) và mp(M, b)
Suy ra M ∈ d
Ta lại có d//b và d//c
Do đó d phải trùng a.
a) Chứng minh IJNM là một hình thang.
b) Tìm vị trí của điểm M để IJNM là hình bình hành.
Lời giải:
a) Ta có: 
.
Xét tứ giác IJNM có: MN // IJ nên IJNM là hình thang.
b) Để IJNM là hình bình hành thì MN = IJ
Ta có: IJ = CD (IJ là đường trung bình của tam giác BCD) nên MN = CD và MN // CD nên MN là đường trung bình của tam giác ACD. Khi đó M là trung điểm của AC.
Vận dụng 2 trang 105 Toán 11 Tập 1: Một chiếc lều (Hình 16a) được minh họa như Hình 16b.
a) Tìm ba mặt phẳng cắt nhau từng đôi một theo ba giao tuyến song song.
b) Tìm ba mặt phẳng cắt nhau từng đôi một theo ba giao tuyến đồng quy.
Lời giải:
a) Ba mặt phẳng cắt nhau từng đôi một theo ba giao tuyến song song là (P), (Q) và (R).
b) Ba mặt phẳng cắt nhau từng đôi một theo ba giao tuyến đồng quy là:
(P), (S) và (R) hoặc (Q), (S) và (R).
Bài tập
Bài 1 trang 105 Toán 11 Tập 1: Cho hai đường thẳng song song a và b. Mệnh đề sau đây đúng hay sai?
a) Đường thẳng c cắt a thì cũng cắt b.
b) Đường thẳng c chéo với a thì cũng chéo với b.
Lời giải:
a) Mệnh đề: “Hai đường thẳng a và b song song, đường thẳng c cắt a thì c cũng cắt b” là một mệnh đề sai vì c và b cũng có thể chéo nhau (không đồng phẳng).
b) Mệnh đề: “Hai đường thẳng a và b song song, đường thẳng c chéo với a thì cũng chéo với b là một mệnh đề sai.
Lời giải:
+) Trong mặt phẳng (ABC) kéo dài AM cắt cạnh BC tại I.
Ta có: mp(d, SA) = mp(SAI)
Trong mặt phẳng (SAI) gọi N là giao điểm của SI và d mà SI ⊂ (SBC). Do đó giao điểm của đường thẳng d và (SBC) là N.
Gọi d’ là giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (CMN).
Ta có: 
Mà 
Do đó C ∈ d’.
Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (CMN) là đường thẳng d’ đi qua C và song song với SA.
Bài 3 trang 106 Toán 11 Tập 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành.
a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SCD) và (SAB).
b) Lấy một điểm M trên đoạn SA (M khác S và A), mặt phẳng (BCM) cắt SD tại N. Tứ giác CBMN là hình gì?
Lời giải:
a) Ta có: CD // AB
CD ⊂ (SCD), AB ⊂ (SAB)
S ∈ (SAB) ∩ (SCD)
Do đó giao tuyến của hai mặt phẳng (SCD) và (SAB) là đường thẳng d đi qua S và song song với AB và CD.
b) Trong mặt phẳng (SAD), kẻ đường thằng qua M song song với AD cắt SD tại N.
Mà AD // BC nên MN // BC.
Do đó mp(M, BC) = mp(MN, BC).
Vậy N là giao điểm của SD với (MBC).
Lời giải:
Gọi O là giao điểm của AC và BD
Ta có: 
.
a) Hãy nói cách xác định hai điểm M và N. Cho AB = a. Tính MN theo a.
b) Trong mặt phẳng (CDMN), gọi K là giao điểm của CN và DM. Chứng minh SK // BC //AD.
Lời giải:
a) +) Trong mặt phẳng (SBD) có DI cắt SB tại N.
Mà DI ⊂ (ICD)
Do đó (ICD) cắt SB tại N.
+) Trong mặt phẳng (SAC) có CI cắt SA tại M.
Mà CI ⊂ (ICD)
Do đó (ICD) cắt SA tại M.
+)
b) Ta có:
(SAD) ∩ (ABCD) = AD
(SBC) ∩ (ABCD) = BC
(SAD) ∩ (SBC) = SK
Mà AD // BC
⇒ SK // AD // BC.
Lời giải:
Hình 18a) các sợi dây cáp điện đồng phẳng và là các đường thẳng song song.
Hình 18b) các đường bờ ruộng là các đường thẳng song song.
Hình 18c) các đường rìa của mỗi bậc thang là các đường thẳng song song.
Hình 18d) các rìa phím của mỗi phím đàn là các đường thẳng song song.
Hình 18e) các rìa mỗi kệ của tủ là các đường thẳng song song.
Hình 18g) mỗi hàng gạch tạo ra một đường thẳng và các đường thẳng này song song với nhau.
Xem thêm các bài giải SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:
Bài 1: Điểm, đường thẳng và mặt phẳng trong không gian
Bài 3: Đường thẳng và mặt phẳng song song
