Tính các giới hạn sau: a) lim (x->7) {[căn(x+2)]-3}/(x-7) 

Bài 5.28 trang 124 Toán 11 Tập 1: Tính các giới hạn sau:

a) $\underset{x\to 7}{\lim }\frac{\sqrt{x+2}-3}{x-7}$;

b) $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x^3-1}{x^2-1}$;

c) $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{2-x}{{\left(1-x\right)}^2}$;

d) $\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{x+2}{\sqrt{4x^2+1}}$.

Trả lời

a) $\underset{x\to 7}{\lim }\frac{\sqrt{x+2}-3}{x-7}$$=\underset{x\to 7}{\lim }\frac{{\left(\sqrt{x+2}\right)}^2-3^2}{\left(x-7\right)\left(\sqrt{x+2}+3\right)}$

$=\underset{x\to 7}{\lim }\frac{x-7}{\left(x-7\right)\left(\sqrt{x+2}+3\right)}$$=\underset{x\to 7}{\lim }\frac{1}{\sqrt{x+2}+3}$$=\frac{1}{\sqrt{7+2}+3}=\frac{1}{6}$.

b) $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x^3-1}{x^2-1}$$=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}$$=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x^2+x+1}{x+1}=\frac{1^2+1+1}{1+1}=\frac{3}{2}$.

c) $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{2-x}{{\left(1-x\right)}^2}$

Ta có: $\underset{x\to 1}{\lim }\left(2-x\right)=2-1=1>0$;

$\underset{x\to 1}{\lim }{\left(1-x\right)}^2=0$ và (1 – x)² > 0 với mọi x ≠ 1.

Do vậy, $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{2-x}{{\left(1-x\right)}^2}=+\infty$.

d) $\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{x+2}{\sqrt{4x^2+1}}$$=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{x+2}{\sqrt{x^2\left(4+\frac{1}{x^2}\right)}}$

$=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{x\left(1+\frac{2}{x}\right)}{-x\sqrt{4+\frac{1}{x^2}}}$$=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{-\left(1+\frac{2}{x}\right)}{\sqrt{4+\frac{1}{x^2}}}$$=-\frac{1}{2}$.

Xem thêm các bài giải SGK Toán 11 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Bài 15: Giới hạn của dãy số

Bài 16: Giới hạn của hàm số

Bài 17: Hàm số liên tục

Bài tập cuối Chương 5

Một vài áp dụng của toán học trong tài chính

Lực căng mặt ngoài của nước