Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m\in \left[-20;20\right]$ để hàm số $f\left(x\right)=3x^4+4\left(1-2m^2\right)x^3+6\left(m-2m^2\right)x^2+12mx-1$ nghịch biến trên khoảng (0;1)?

Chọn B

Ta có:  $f\text{'}\left(x\right)\le 0,\forall x\in \left(0;1\right)\iff 12x^3+12\left(1-2m^2\right)x^2+12\left(m-2m^2\right)x+12m\le 0,\forall x\in \left(0;1\right)$

Vì $x\in \left(0;1\right)\Rightarrow x+1>0$ nên yêu cầu bài toán $\iff \underset{g\left(x\right)}{\underbrace{x^2-2m^{2}x+m}}\le 0,\forall x\in \left(0;1\right)$. (*)

Xét ${{\Delta }_{g\left(x\right)}}^{\text{'}}=m^4-m$

TH1: ${{\Delta }_{g\left(x\right)}}^{\text{'}}<0$, do $a=1>0\Rightarrow g\left(x\right)>0,\forall x\in ℝ$ (không thỏa mãn).

TH2: ${{\Delta }_{g\left(x\right)}}^{\text{'}}=0\iff \left[\begin{array}{l}m=1\\ m=0\end{array}\right.$ (không thỏa mãn).

TH3: ${{\Delta }_{g\left(x\right)}}^{\text{'}}>0\iff m^4-m>0\iff \left[\begin{array}{l}m>1\\ m<0\end{array}\right.$

Khi đó $g\left(x\right)=0$ có 2 nghiệm phân biệt  (giả sử $x_1<x_2$).

Ta có bảng xét dấu của g(x) như sau:

Theo yêu cầu bài toán ta có $\left\{\begin{array}{l}g\left(0\right)\le 0\\ g\left(1\right)\le 0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}m\le 0\\ 1-2m^2+m\le 0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}m\le 0\\ \left[\begin{array}{l}m\ge 1\\ m\le -\frac{1}{2}\end{array}\right.\end{array}\right.\iff m\le -\frac{1}{2}$

Do $\left\{\begin{array}{l}m\in \mathbb{Z}\\ m\in \left[-20;20\right]\end{array}\right.$ nên ta nhận $m\in \left\{-20;-19;\mathrm{...};-1\right\}$. Vậy có tất cả 20 giá trị thỏa mãn.