Chọn D

Do đồ thị $f\left(x\right)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$ tiếp xúc trục hoành tại điểm có hoành độ bằng  nên đồ thị còn cắt trục hoành tại một điểm khác nữa, ta giả sử điểm đó có hoành độ $x_0\ne 1$

Khi đó $f\left(x\right)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d=a{\left(x-1\right)}^2\left(x-x_0\right)$

Do đồ thị $f\left(x\right)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$ cắt đường thẳng y = 2m - 1 tại hai điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là 0 và 4 nên ta có:

$\left\{\begin{array}{l}f\left(0\right)=2m-1\\ f\left(4\right)=2m-1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}-a.x_0=2m-1\\ 9a.\left(4-x_0\right)=2m-1\end{array}\right.\Rightarrow -a.x_0=9a.\left(4-x_0\right)\iff x_0=\frac{9}{2}$

Suy ra $f\left(x\right)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d=a{\left(x-1\right)}^2\left(x-\frac{9}{2}\right)$