Cho khối đa diện (minh họa như hình vẽ bên) trong đó ABCD.A'B'C'D' là khối hộp chữ nhật với AB = AD = 2a, AA' = a, S.ABCD là khối chóp có các cạnh bên bằng nhau và $SA=a\sqrt{3}$. Thể tích khối tứ diện  bằng

Chọn C

Giả sử $O=AC\cap BD$

Do $\left\{\begin{array}{l}SA=SB=SC=SD\\ OA=OB=OC=OD\end{array}\right.\Rightarrow SO\perp \left(ABCD\right)$. Ta có $V_{S{A}^{\text{'}}BD}=V_{A\text{'}.SBD}$

Do $\left\{\begin{array}{l}AA\text{'}//BB\text{'}\\ BB\text{'}\subset \left(SBD\right)\end{array}\right.\Rightarrow d\left(A\text{'},\left(SBD\right)\right)=d\left(A,\left(SBD\right)\right)\Rightarrow V_{A\text{'}.SBD}=V_{A.SBD}$

Ta có $\left\{\begin{array}{l}AO\perp SO\\ AO\perp BD\end{array}\right.\Rightarrow AO\perp \left(SBD\right)$

Tam giác SOB vuông tại $O\Rightarrow SO=\sqrt{S{B}^2-O{B}^2}=\sqrt{3a^2-2a^2}=a$

$V_{S.ABD}=V_{A.SBD}=\frac{1}{3}AO.k,\left(1\right)$

Với  là diện tích tam giác $SBD\Rightarrow k=\frac{1}{2}SO.BD=\frac{1}{2}a.2a\sqrt{2}=\sqrt{2}{a}^2,\left(2\right)\text{ . }AO=a\sqrt{2}\left(3\right)$

Thay (2), (3) vào (1) ta được $V_{S.A^{\text{'}}BD}=V_{A\text{'}.SBD}=\frac{1}{3}a\sqrt{2}.\sqrt{2}{a}^2=\frac{2a^3}{3}$