Cho hàm số y = f(x). Hàm số y = f'(x) có bảng biến thiên như sau:

Điều kiện cần và đủ của tham số m để bất phương trình $f\left(x\right)-\frac{1}{2}{x}^2<m$ nghiệm đúng với mọi $x\in [1;2]$ là

Chọn D

Đặt $g\left(x\right)=f\left(x\right)-\frac{1}{2}{x}^2\Rightarrow g^{\text{'}}\left(x\right)=f^{\text{'}}\left(x\right)-x, g^{\text{'}}\left(x\right)=0\iff f^{\text{'}}\left(x\right)-x=0\iff f^{\text{'}}\left(x\right)=x$

Dưa vào đồ thị 2 hàm số y = f'(x) và đồ thị hàm số y = x  ta được $g^{\text{'}}\left(x\right)<0,\forall x\in \left[1;2\right]$. Do đó hàm số g(x)  nghịch biến trên $\left[1;2\right]\Rightarrow \underset{\left[1;2\right]}{\max }g\left(x\right)=g\left(1\right)=f\left(1\right)-\frac{1}{2}$

Yêu cầu bài toán $m>\underset{\left[1;2\right]}{\max }g\left(x\right)=f\left(1\right)-\frac{1}{2}$