Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a căn bậc hai 3. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SB, SC. Biết mặt phẳng (AMN) vuông góc với mặt phẳng (SBC).

A. $\frac{3a^3\sqrt{15}}{16}$

B. $\frac{3a^3\sqrt{15}}{48}$

C. $\frac{3a^3\sqrt{15}}{32}$

D. $\frac{a^3\sqrt{15}}{32}$

Trả lời

Chọn C

Gọi H là trung điểm $BC\Rightarrow BC\perp SH$ (do $\Delta SBC$ cân tại I ).

Gọi G là trọng tâm $\Delta ABC$ và $I=SH\cap MN$.

Do S.ABC là chóp đều $\Rightarrow SG\perp \left(ABC\right)$

Ta có: MN là đường trung bình của $\Delta SBC\Rightarrow MN//BC\Rightarrow MN\perp SH$ tại I

Vậy: $\left\{\begin{array}{l}\left(AMN\right)\perp \left(SBC\right)\\ \left(AMN\right)\cap \left(SBC\right)=MN\\ SH\perp MN,SH\subset \left(SBC\right)\end{array}\right.\Rightarrow SH\perp \left(AMN\right)\Rightarrow SH\perp AI$

Lại có I là trung điểm SH (do $I\in MN$) => AI là đường trung tuyến $\Delta SAH$

Suy ra $\Delta SAH$ cân tại $A\Rightarrow SA=AH=\frac{AB\sqrt{3}}{2}=\frac{3a}{2}$

Xét $\Delta SGA$ vuông tại G : $SG=\sqrt{S{A}^2-A{G}^2}=\sqrt{{\left(\frac{3a}{2}\right)}^2-{\left(\frac{2}{3}.\frac{3a}{2}\right)}^2}=\frac{a\sqrt{5}}{2}$

Mặt khác: $\frac{V_{S.AMN}}{V_{S.ABC}}=\frac{SM}{SB}.\frac{SN}{SC}=\frac{1}{4}\Rightarrow V_{MNABC}=\frac{3}{4}{V}_{S.ABC}=\frac{3}{4}.\frac{1}{3}.SG.\frac{A{B}^2\sqrt{3}}{4}=\frac{3\sqrt{15}}{32}{a}^3$