Có bao nhiêu giá trị thực của tham số m để tích giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $f\left(x\right)=x^4-m^2{x}^3-2x^2-m$ trên đoạn [0;1] bằng -1 ?

Chọn D

Ta có $f^{\text{'}}\left(x\right)=4x^3-4x-3m^2{x}^2=4x\left(x-1\right)\left(x+1\right)-3m^2{x}^2\le 0$ với $\forall x\in \left[0;1\right]$

Suy ra $\underset{\left[0;1\right]}{\text{max}}f\left(x\right)=f\left(0\right);\underset{\left[0;1\right]}{\text{min}}f\left(x\right)=f\left(1\right)$

Theo yêu cầu bài toán ta có

$$\begin{gathered} f\left(0\right).f\left(1\right)=-1\Rightarrow -m\left(-m^2-m-1\right)=-1\iff m^3+m^2+m+1=0 \\ \iff \left(m+1\right)\left(m^2+1\right)=0\iff m=-1 \end{gathered}$$