Giải các phương trình lượng giác sau:

1) \[{\sin ^2}x + 5\sin x\cos x + 6{\cos ^2}x = 6\]

Phương pháp:

1) TH1: \[\cos x = 0.\]

TH2: \[\cos x \ne 0,\] chia cả 2 vế của phương trình cho \[{\cos ^2}x,\]  sử dụng công thức \[\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} = 1 + {\tan ^2}x,\] đưa về phương trình bậc hai ẩn \[\tan x.\]

Cách giải:

1) \[{\sin ^2}x + 5\sin x\cos x + 6{\cos ^2}x = 6\]

TH1: \[\cos x = 0 \Leftrightarrow {\sin ^2}x = 1,\] khi đó phương trình trở thành \[1 = 6\] (vô nghiệm).

TH2: \[\cos x \ne 0.\] Chia cả 2 vế của phương trình cho \[{\cos ^2}x,\] ta được:

\[{\tan ^2}x + 5\tan x + 6 = 6\left( {1 + {{\tan }^2}x} \right) \Leftrightarrow 5{\tan ^2}x - 5\tan x = 0\]

\[ \Leftrightarrow 5\tan x\left( {\tan x - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\tan x = 0\\\tan x = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k\pi \\x = \frac{\pi }{4} + k\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\]

Vậy nghiệm của hệ phương trình là \[S = \left\{ {k\pi ;\frac{\pi }{4} + k\pi |k \in \mathbb{Z}} \right\}.\]