Tổng tất cả các nghiệm $x \in \left[ {0;10\pi } \right]$ của phương trình ${\mathop{\rm sinx}\nolimits} = 0$ là:

Đáp án A

Phương pháp:

+) Giải phương trình lượng giác cơ bản: $\sin x = \sin \alpha \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha + k2\pi \\x = \pi - \alpha + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right),$ sau đó tìm các nghiệm thuộc $\left[ {0;10\pi } \right]$ của phương trình.

+) Tính tổng các nghiệm: sử dụng công thức tổng n số hạng đầu tiên của CSC: ${S_n} = \frac{{\left( {{u_1} + {u_n}} \right).n}}{2}.$

Cách giải:

$\sin x = 0 \Leftrightarrow x = k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

$x \in \left[ {0;10\pi } \right] \Leftrightarrow 0 \le k\pi \le 10\pi \Leftrightarrow 0 \le k \le 10 \Leftrightarrow k \in \left\{ {0;1;2;...;10} \right\}$

Khi đó tổng các nghiệm thuộc $\left[ {0;10\pi } \right]$ của phương trình trên là:

$0 + \pi + 2\pi + 3\pi + ... + 10\pi = \left( {0 + 1 + 2 + ... + 10} \right)\pi = \frac{{10.11}}{2}\pi = 55\pi .$