Cho vectơ a, vectơ b là hai vectơ khác vectơ 0. Trong trường hợp nào thì đẳng thức sau đúng

Bài 5 trang 103 Toán lớp 10 Tập 1: Cho $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ là hai vectơ khác vectơ $\overrightarrow{0}$. Trong trường hợp nào thì đẳng thức sau đúng?

a) $\left|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right|=\left|\overrightarrow{a}\right|+\left|\overrightarrow{b}\right|$ ;

b) $\left|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right|=\left|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right|$.

Trả lời

a) $\left|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right|=\left|\overrightarrow{a}\right|+\left|\overrightarrow{b}\right|$ thì ${\left|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right|}^2={\left(\left|\overrightarrow{a}\right|+\left|\overrightarrow{b}\right|\right)}^2$.

$\Rightarrow {\overrightarrow{a}}^2+2.\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}+{\overrightarrow{b}}^2={\overrightarrow{a}}^2+2\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{b}\right|+{\overrightarrow{b}}^2$

$\Rightarrow \overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{b}\right|$

Mà $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{b}\right|.c\text{os}\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)$ nên $\cos \left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)=1$.

Do đó $\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)=0°$.

Vậy hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ cùng hướng.

b) $\left|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right|=\left|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right|$ thì ${\left|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right|}^2={\left|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right|}^2$.

$\Rightarrow {\overrightarrow{a}}^2+2\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}+{\overrightarrow{b}}^2={\overrightarrow{a}}^2-2\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}+{\overrightarrow{b}}^2$

$\Rightarrow 4\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=0$

$\Rightarrow 4\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{b}\right|.\cos \left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)=0$

Do $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ là hai vectơ khác vectơ $\overrightarrow{0}$ nên $\cos \left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)=0$.

Do đó $\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)=90°$.

Vậy hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ vuông góc với nhau.

Xem thêm lời giải bài tập SGK Toán lớp 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Bài 3: Tích của một số với một vectơ

Bài 4: Tích vô hướng của hai vectơ

Bài tập cuối chương 5

Bài 1: Số gần đúng và sai số

Bài 2: Mô tả và biểu diễn dữ liệu trên các bảng và biểu đồ

Bài 3: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu