Cho bốn điểm A, B, C, D. Chứng minh rằng vectơ AB = vectơ CD khi và chỉ khi trung điểm của hai đoạn thẳng AD và BC trùng nhau
546
12/06/2023
Bài 7 trang 103 Toán lớp 10 Tập 1: Cho bốn điểm A, B, C, D. Chứng minh rằng →AB=→CD khi và chỉ khi trung điểm của hai đoạn thẳng AD và BC trùng nhau.
Trả lời
Phần thuận: →AB=→CD thì trung điểm hai đoạn thẳng AD và BC trùng nhau.
Do →AB=→CD nên hai vectơ →AB, →CD cùng hướng và AB = CD.
Do hai vectơ →AB, →CD cùng hướng nên ta có 2 trường hợp:
Trường hợp 1. Đường thẳng AB và CD trùng nhau, lại có AB = CD nên trung điểm của hai đoạn thẳng AD và BC trùng nhau.
Trường hợp 2. Đường thẳng AB và CD song song với nhau.
![Giải Toán 10 Bài tập cuối chương 5 - Chân trời sáng tạo (ảnh 1)](https://vietjack.me/storage/uploads/images/299/38-1658810074.png)
Đường thẳng AB và CD song song với nhau, lại có AB = CD nên ABDC là hình bình hành.
Khi đó tâm O của hình bình hành ABCD là giao điểm hai đường chéo AD và BC nên O là trung điểm của AD và BC tức trung điểm của hai đoạn thẳng AD và BC trùng nhau.
Phần đảo: Trung điểm của hai đoạn thẳng AD và BC trùng nhau thì →AB=→CD.
Trường hợp 1. Hai đường thẳng AD và BC trùng nhau.
![Giải Toán 10 Bài tập cuối chương 5 - Chân trời sáng tạo (ảnh 1)](https://vietjack.me/storage/uploads/images/299/39-1658810105.png)
Gọi trung điểm của AD và BC là O.
Do O là trung điểm của AD nên OA = OD.
Do O là trung điểm của BC nên OB = OC.
Do đó OB - OA = OC - OD hay AB = CD.
Ta thấy hai vectơ →AB và →CD cùng hướng và AB = CD nên →AB=→CD.
Trường hợp 2. Hai đường thẳng AD và BC cắt nhau.
![Giải Toán 10 Bài tập cuối chương 5 - Chân trời sáng tạo (ảnh 1)](https://vietjack.me/storage/uploads/images/299/40-1658810142.png)
Hai đường thẳng AD và BC cắt nhau tại điểm O, điểm O là trung điểm của AD và BC nên ABDC là hình bình hành.
Do đó AB // CD và AB = CD.
Ta thấy hai vectơ →AB và →CD cùng hướng và AB = CD nên →AB=→CD.
Xem thêm lời giải bài tập SGK Toán lớp 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:
Bài 3: Tích của một số với một vectơ
Bài 4: Tích vô hướng của hai vectơ
Bài tập cuối chương 5
Bài 1: Số gần đúng và sai số
Bài 2: Mô tả và biểu diễn dữ liệu trên các bảng và biểu đồ
Bài 3: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu