Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Cho M là một điểm nằm trên cạnh BC (M nằm giữa C và H)

Bài 9.49 trang 63 SBT Toán lớp 8 Tập 2: Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Cho M là một điểm nằm trên cạnh BC (M nằm giữa C và H). Kẻ đường thẳng qua M vuông góc với BC lần lượt cắt AC và tia đối của tia AB tại N và P. Chứng minh rằng:

a) ∆ANP ᔕ ∆HBA và ∆MCN ᔕ ∆MPB;

b) MBMCNCNAPAPB=1

Trả lời

Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Cho M là một điểm nằm trên cạnh BC

a) Vì tam giác ABC vuông tại A nên BAC^=90°  .

Mà BAC^+PAN^=180° (hai góc kề bù)

Do đó, PAN^=90°  .

Vì MN vuông góc với BC, AH vuông góc với BC nên MN song song với AH hay MP song song với AH.

Do đó, P^=HAB^  (hai góc đồng vị).

Tam giác ANP vuông tại A và tam giác HBA vuông tại H có:

 P^=HAB^ (cmt)

Do đó, ∆ANP ᔕ ∆HBA (hai góc nhọn bằng nhau).

Tam giác MCN vuông tại M và tam giác MPB vuông tại M có:

C^=P^ (cùng phụ với góc B).

Do đó, ∆MCN ᔕ ∆MPB (hai góc nhọn bằng nhau).

b)

Ta có: MBMCNCNAPAPB=MBPBNCNAPAMC .

Tam giác PMB có: PM song song  với AH nên theo định lí Thalès ta có:

 MBMH=PBPA hay MBPB=MHPA .

Tam giác AHC có: MN song song với AH nên theo định lí Thales ta có:

NCNA=MCMH.

Do đó, MBMCNCNAPAPB=MBPBNCNAPAMC=MHPAMCMHPAMC=1  .

Xem thêm các bài giải SBT Toán lớp 8 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Câu hỏi cùng chủ đề

Xem tất cả