Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 6 cm, AC = 8 cm. Tia phân giác của góc ABC cắt AC tại D
401
20/12/2023
Bài 15 trang 51 sách bài tập Toán 8 Tập 2: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 6 cm, AC = 8 cm. Tia phân giác của ^ABC cắt AC tại D.
a) Tính độ dài DA, DC;
b) Tia phân giác của ^ACB cắt BD ở I. Gọi M là trung điểm BC. Chứng minh ^BIM = 90°.
Trả lời

a) Xét ∆ABC vuông tại A, áp dụng định lý Pythagore, ta có:
BC2 = AB2 + AC2 = 62 + 82 =100 , suy ra BC = 10 (cm).
Vì BD là đường phân giác của ^ABC trong ∆ABC nên
DADC=BABC=610=35,
Suy ra DA3=DC5=DA+DC3+5=AC8=88 = 1.
Do đó DA = 3.1 = 3 (cm) và DC = 5.1 = 5 (cm).
Vậy DA = 3 cm và DC = 5 cm.
b) Xét ∆ABD vuông tại A, áp dụng định lý Pythagore, ta có:
BD2 = AB2 + AD2 = 62 + 32 = 45 , suy ra BD = 3√5 (cm).
Ta có CI là đường phân giác của ^DCB trong ∆CBD nên
IDIB=CDCB=510=12 hay ID1=IB2.
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
ID1=IB2=ID+IB1+2=BD3=3√53=√5.
Suy ra ID = √5 (cm) và IB = 2√5 (cm).
Ta có: MB = MC = 12BC = 5 (cm)
Xét ∆IDC và ∆IMC có
IC chung
^DCI=^MCI
DC = MC
Do đó ∆IDC = ∆IMC (c.g.c).
Suy ra ID = IM = √5 (cm)
Ta có IM2 + IB2 = (√5)2+(2√5)2 = 25 và MB2 = 52 = 25.
Do đó IM2 + IB2 = MB2.
Áp dụng định lý Pythagore đảo trong ∆IBM, suy ra ∆IBM vuông tại I.
Suy ra ^BIM = 90°.
Xem thêm các bài giải sách bài tập Toán 8 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:
Bài 2: Đường trung bình của tam giác
Bài 3: Tính chất đường phân giác của tam giác
Bài tập cuối chương 7
Bài 1: Hai tam giác đồng dạng
Bài 2: Các trường hợp đồng dạng của hai tam giác
Bài 3: Các trường hợp đồng dạng của hai tam giác vuông