Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC). Trên cạnh BC lấy điểm N sao cho BA = BN. Kẻ BE AN (E AN). a) Chứng minh BE là tia phân giác của góc ABN
693
30/11/2023
Bài 4 trang 84 Toán 7 Tập 2:
Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC). Trên cạnh BC lấy điểm N sao cho BA = BN. Kẻ BE AN (E AN).
a) Chứng minh BE là tia phân giác của góc ABN.
b) Kẻ đường cao AH của tam giác ABC. Gọi K là giao điểm của AH với BE. Chứng minh rằng NK // CA.
c) Đường thẳng BK cắt AC tại F. Gọi G là giao điểm của đường thẳng AB với NF. Chứng minh rằng tam giác GBC cân.
Trả lời
|
GT
|
ABC vuông tại A, AB < AC,
N ∈ BC, BA = BN, BE AN (E AN).
b) AH là đường cao, K là giao điểm của AH với BE.
c) BK cắt AC tại F, G là giao điểm của AB với NF.
|
|
KL
|
a) BE là tia phân giác của góc ABN.
b) NK // CA.
c) GBC cân.
|
a) Xét ∆ABE (vuông tại E) và ∆NBE (vuông tại E) có:
BA = BN (giả thiết);
AE là cạnh chung.
Do đó ∆ABE = ∆NBE (cạnh huyền – cạnh góc vuông)
Suy ra (hai góc tương ứng)
Do đó BE là tia phân giác của góc ABN.
Vậy BE là tia phân giác của góc ABN.
b) Ta có ∆ABN có BE ⊥ AN, AH ⊥ BN (giả thiết)
Suy ra ∆ABN có hai đường cao AH và BE cắt nhau tại K.
Do đó K là trực tâm của tam giác ABN.
Suy ra NK AB.
Mà CA AB (do ∆ABC vuông tại A)
Do đó NK // AC.
Vậy NK // AC.
c) Vì BE là tia phân giác của (chứng minh câu a) nên .
Xét ∆ABF và ∆NBF có:
BA = BN (giả thiết),
(chứng minh trên),
BF là cạnh chung
Do đó ∆ABF = ∆NBF (c.g.c)
Suy ra AF = NF (hai cạnh tương ứng) và (hai góc tương ứng).
Do đó FN BC.
Xét ∆AFG (vuông tại A) và ∆NFC (vuông tại N) có:
AF = NF (chứng minh trên),
(hai góc đối đỉnh),
Do đó ∆AFG = ∆NFC (cạnh góc vuông – góc nhọn kề).
Suy ra AG = NC (hai cạnh tương ứng).
Lại có BA = BN (giả thiết)
Do đó BA + AG = BN + NC
Hay BG = BC.
Tam giác BGC có BG = BC nên tam giác BGC cân tại B.
Vậy tam giác BGC cân tại B.
Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 7 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:
Bài 9: Tính chất ba đường phân giác của tam giác
Bài 10: Hoạt động thực hành và trải nghiệm. Làm giàn hoa tam giác để trang trí lớp học
Bài tập cuối chương 8
Bài 1: Làm quen với biến cố ngẫu nhiên
Bài 2: Làm quen với xác suất của biến cố ngẫu nhiên
Bài 3: Hoạt động thực hành và trải nghiệm. Nhảy theo xúc xắc
