Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA, SB, P là trọng tâm của tam giác BCD.

1) Chứng minh rằng: Đường thẳng MN song song với mặt phẳng \[\left( {{\rm{SCD}}} \right){\rm{.}}\]

2) Tìm giao tuyến của \[{\rm{mp}}\left( {{\rm{MNP}}} \right)\] và \[{\rm{mp}}\left( {{\rm{ABCD}}} \right){\rm{.}}\]

3) Tìm giao điểm G của đường thẳng SC và \[{\rm{mp}}\left( {{\rm{MNP}}} \right){\rm{.}}\] Tính tỷ số \[\frac{{SC}}{{SG}}.\]

Phương pháp:

1) Chứng minh đường thẳng MN song song với 1 đường thẳng nằm trong mặt phẳng \[\left( {SCD} \right).\]

2) Hai mặt phẳng chứa 2 đường thẳng song song thì cắt nhau theo giao tuyến (nếu có) song song với 2 đường thẳng đó.

3) Áp dụng định lí Menelaus trong tam giác SAC: \[\frac{{MS}}{{MA}}.\frac{{PA}}{{PC}}.\frac{{GC}}{{GS}} = 1.\]

Cách giải:

a) Xét tam giác SAB có MN là đường trung bình \[ \Rightarrow MN{\rm{// }}AB\] (Tính chất đường trung bình).

Lại có \[AB{\rm{ // }}CD\] (ABCD là hình bình hành) nên \[MN{\rm{ // }}CD,\] \[CD \subset \left( {SCD} \right) \Rightarrow MN{\rm{ // }}\left( {SCD} \right).\]

b) Ta có \[\left( {MNP} \right)\] và \[\left( {ABCD} \right)\] có điểm P chung.

\[MN \subset \left( {MNP} \right);{\rm{ }}AB \subset \left( {ABCD} \right);{\rm{ }}MN{\rm{ // }}AB \Rightarrow \] Giao tuyến của 2 mặt phẳng \[\left( {MNP} \right)\] và \[\left( {ABCD} \right)\] là đường thẳng qua P và song song với MN, AB.

Trong \[\left( {ABCD} \right)\] kẻ \[EF{\rm{ // }}AB\left( {E \in AD;{\rm{ }}F \in BC} \right),\] khi đó ta có \[\left( {MNP} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = EF.\]

c) Gọi \[O = AC \cap BD.\] Do P là trọng tâm tam giác BCD

\[ \Rightarrow \frac{{PC}}{{PO}} = \frac{2}{3} \Rightarrow \frac{{PC}}{{\frac{1}{2}AC}} = \frac{2}{3} \Leftrightarrow \frac{{PC}}{{AC}} = \frac{1}{3} \Rightarrow \frac{{PC}}{{PA}} = \frac{1}{2}\]

Áp dụng định lí Menelaus trong tam giác SAC: \[\frac{{MS}}{{MA}}.\frac{{PA}}{{PC}}.\frac{{GC}}{{GS}} = 1 \Rightarrow 1.2.\frac{{GC}}{{GS}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{GC}}{{GS}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{{SC}}{{SG}} = \frac{1}{2}.\]