Chiếc cầu dây văng một nhịp được thiết kế hai bên thành cầu có dạng parabol và được cố định bằng các dây cáp song song

Bài 9 trang 57 Toán lớp 10 Tập 1: Chiếc cầu dây văng một nhịp được thiết kế hai bên thành cầu có dạng parabol và được cố định bằng các dây cáp song song.

Dựa vào bản vẽ ở Hình 14, hãy tính chiều dài tổng cộng của các dây cáp dọc ở hai mặt bên. Biết:

- Dây dài nhất là 5m, dây ngắn nhất là 0,8m. Khoảng cách giữa các dây bằng nhau.

- Nhịp cầu dài 30m.

- Cần tính thêm 5% chiều dài mỗi sợi dây cáp để neo cố định.

Trả lời

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ.

Trong đó, khoảng cách giữa các dây bằng nhau và có 20 khoảng cách nên mỗi khoảng cách ứng với 30 : 20 = 1,5 m.

Gọi dạng parabol của thành cầu là đồ thị của hàm số y = ax² + bx + c (a, b, c là các số thực, a ≠ 0).

Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm (0; 0,8) nên ta có:

a.0² + b.0 + c = 0,8 ⇒ c = 0,8

Tại hai đầu cầu, tức y = 5 thì ta có hai giá trị x thỏa mãn là x₁ = –15 và x₂ = 15

Từ đó ta có:

a.(–15)² + b.(–15) + 0,8 = 5 ⇒ 225a – 15b = 4,2      (1)

a.15² + b.15 + 0,8 = 5 ⇒ 225a + 15b = 4,2              (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}225a-15b=4,2\\ 225a+15b=4,2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a=\frac{7}{375}\\ b=0\end{array}\right.$ .

Vậy phương trình parabol cần tìm là: $y=\frac{7}{375}{x}^2+0,8$.

Độ dài mỗi dây ở vị trí hoành độ tương ứng là:

Tại x = 0, độ dài dây là: 0,8 + 5%.0,8 = 0,84 (m)

Tại x = 1,5 và x = –1,5 thì độ dài dây là:

$\frac{7}{375}.1,5^2+0,8+5\%.\left(\frac{7}{375}.1,5^2+0,8\right)=0,8841$ (m)

Tại x = 3 và x = –3 thì độ dài dây là:

$\frac{7}{375}{.3}^2+0,8+5\%.\left(\frac{7}{375}{.3}^2+0,8\right)=1,0164$ (m)

Tại x = 4,5 và x = –4,5 thì độ dài dây là:

$\frac{7}{375}.4,5^2+0,8+5\%.\left(\frac{7}{375}.4,5^2+0,8\right)=1,2369$ (m)

Tại x = 6 và x = –6 thì độ dài dây là:

$\frac{7}{375}{.6}^2+0,8+5\%.\left(\frac{7}{375}{.6}^2+0,8\right)=1,5456$ (m)

Tại x = 7,5 và x = –7,5 thì độ dài dây là:

$\frac{7}{375}.7,5^2+0,8+5\%.\left(\frac{7}{375}.7,5^2+0,8\right)=1,9425$ (m)

Tại x = 9 và x = –9 thì độ dài dây là:

$\frac{7}{375}{.9}^2+0,8+5\%.\left(\frac{7}{375}{.9}^2+0,8\right)=2,4276$ (m)

Tại x = 10,5 và x = –10,5 thì độ dài dây là:

$\frac{7}{375}.10,5^2+0,8+5\%.\left(\frac{7}{375}.10,5^2+0,8\right)=3,0009$(m)

Tại x = 12 và x = –12 thì độ dài dây là:

$\frac{7}{375}{.12}^2+0,8+5\%.\left(\frac{7}{375}{.12}^2+0,8\right)=3,6624$(m)

Tại x = 13,5 và x = –13,5 thì độ dài dây là:

$\frac{7}{375}.13,5^2+0,8+5\%.\left(\frac{7}{375}.13,5^2+0,8\right)=4,4121$(m)

Tại x = 15 và x = –15 thì độ dài dây là:

5 + 5%.5 = 5,25 (m)

Chiều dài tổng cộng của các dây cáp dọc ở hai mặt bên của cầu là:

4.(0,84 + 0,8841 + 1,0164 + 1,2369 + 1,5456 + 1,9425 + 2,4276 + 3,0009 + 3,6624 + 4,4121 + 5,25) = 104,874 (m).

Vậy chiều dài tổng cộng của các dây cáp dọc ở hai mặt bên của cầu là: 104,874 m.

Xem thêm lời giải bài tập SGK Toán lớp 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Bài tập cuối chương 2

Bài 1: Hàm số và đồ thị

Bài 2: Hàm số bậc hai

Bài tập cuối chương 3

Bài 1: Giá trị lượng giác của một góc từ 0 độ đến 180 độ

Bài 2: Định lí côsin và định lí sin