a) Vẽ đồ thị của hai hàm số y = e^x và y = ln của x trên cùng một hệ trục tọa độ

Bài 6.56 trang 22 SBT Toán 11 Tập 2: a) Vẽ đồ thị của hai hàm số y = e^x và y = ln x trên cùng một hệ trục tọa độ.

b) Chứng minh rằng hai đồ thị trên đối xứng nhau qua đường thẳng y = x, tức là nếu điểm M nằm trên một đồ thị thì điểm M’ đối xứng với M qua đường thẳng y = x sẽ nằm trên đồ thị còn lại.

Trả lời

a) Đồ thị của hai hàm số y = e^x và y = ln x trên cùng một hệ trục tọa độ như hình sau:

b) Xét điểm $A\left(x_0;e^{x_0}\right)$ nằm trên đồ thị hàm số y = e^x.

Phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm $A\left(x_0;e^{x_0}\right)$ và vuông góc với đường thẳng y = x có dạng: $y=-x+x_0+e^{x_0}$ .

Gọi B là giao điểm của đường thẳng (d) và đường thẳng y = x.

Khi đó $B\left(\frac{x_0+e^{x_0}}{2};\frac{x_0+e^{x_0}}{2}\right)$ .

Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua đường thẳng y = x. Khi đó B là trung điểm của AA’.

Do đó: $\left\{\begin{array}{l}{\mathrm{x}}_{{\mathrm{A}}^{\text{'}}}=2{\mathrm{x}}_{\mathrm{B}}-{\mathrm{x}}_{\mathrm{A}}\\ {\mathrm{y}}_{{\mathrm{A}}^{\text{'}}}=2{\mathrm{y}}_{\mathrm{B}}-{\mathrm{y}}_{\mathrm{A}}\end{array}\right.$$\iff \left\{\begin{array}{l}{\mathrm{x}}_{{}_{{\mathrm{A}}^{\text{'}}}}=2\cdot \frac{{\mathrm{x}}_0+{\mathrm{e}}^{{\mathrm{x}}_0}}{2}-{\mathrm{x}}_0\\ {\mathrm{y}}_{{}_{{\mathrm{A}}^{\text{'}}}}=2\cdot \frac{{\mathrm{x}}_0+{\mathrm{e}}^{{\mathrm{x}}_0}}{2}-{\mathrm{e}}^{{\mathrm{x}}_0}\end{array}\right.$$\iff \left\{\begin{array}{l}{\mathrm{x}}_{{\mathrm{A}}^{\text{'}}}={\mathrm{e}}^{{\mathrm{x}}_0}\\ {\mathrm{y}}_{{\mathrm{A}}^{\text{'}}}={\mathrm{x}}_0\end{array}\right.$.Vậy ${\mathrm{A}}^{\text{'}}\left({\mathrm{e}}^{{\mathrm{x}}_0};{\mathrm{x}}_0\right)$

Thay tọa độ điểm $A^{\text{'}}\left(e^{x_0};x_0\right)$ vào hàm số y = ln x, ta được $x_0={\mathrm{lne}}^{x_0}$ (luôn đúng),

Vậy $A^{\text{'}}\left(e^{x_0};x_0\right)$ thuộc đồ thị hàm số y = ln x.

Tương tự, nếu B(x₀; ln x₀) nằm trên đồ thị hàm số y = ln x thì ta cũng tìm được điểm B’ đối xứng với B qua đường thẳng y = x và điểm B’ thuộc đồ thị hàm số y = e^x.

Vậy hai đồ thị đã cho đối xứng với nhau qua đường thẳng y = x.

Xem thêm các bài giải SBT Toán lớp 11 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác: