Sách bài tập Toán lớp 11 Bài 22: Hai đường thẳng vuông góc
Lời giải:
Vì ABCD là hình bình hành nên BC // AD. Do đó (BC, SA) = (AD, SA) = .
Do tam giác SAD đều nên = 60o .
Vậy góc giữa hai đường thẳng BC và SA bằng 60°.
Vì ABCD là hình bình hành nên BC // AD. Do đó (BC, SM) = (AD, SM).
Vì M là trung điểm của AD nên SM là đường trung tuyến.
Xét tam giác đều SAD có SM là đường trung tuyến nên SM là đường cao.
Do đó SM AD hay (AD, SM) = 90°.
Vậy góc giữa hai đường thẳng BC và SM bằng 90°.
Lời giải:
Vì hình hộp ABCD.A'B'C'D' có tất cả các cạnh bằng nhau nên ABCD là hình thoi, suy ra AC BD.
Mà A'C' // AC nên (A'C', BD) = (AC, BD) = 90°.
Vậy góc giữa hai đường thẳng A'C' và BD bằng 90°.
Vì BB' // AA' nên (AD, BB') = (AD, AA') = 180o - = 180o - 120o = 60o.
Vậy góc giữa hai đường thẳng AD và BB' bằng 60°.
Vì BB' // AA' nên (A'D, BB') = (A'D, AA') = .
Vì hình hộp ABCD.A'B'C'D' có tất cả các cạnh bằng nhau nên ADD'A' là hình thoi, suy ra A'D là đường phân giác của góc AA'D'.
Xét hình thoi ADD'A' có = 120o nên = 180o - 120o = 60o.
Mà A'D là đường phân giác của góc AA'D' nên = = 30o.
Vậy góc giữa hai đường thẳng A'D và BB' bằng 30°.
Lời giải:
Lấy K là trung điểm của BC.
Xét tam giác BCD có N là trung điểm BD, K là trung điểm BC nên NK là đường trung bình. Do đó NK // CD và NK = = a.
Xét tam giác ABC có M là trung điểm AC, K là trung điểm BC nên MK là đường trung bình. Do đó MK // AB và MK = = a.
Có MN2 = 3a2 ; NK2 + MK2 = a2 + = 3a2.
Do đó MN2 = NK2 + MK2 nên tam giác MNK là tam giác vuông tại K hay NK MK.
Lại có MK // AB, NK // CD nên (AB, CD) = (MK, NK) = 90° hay AB CD.
a) Tính góc giữa các cặp đường thẳng sau: MN và SD; MO và SB.
b) Tính tang của góc giữa hai đường thẳng SN và BC.
Lời giải:
a) Hình chóp S.ABCD có tất cả các cạnh bằng a và đáy ABCD là hình vuông nên
SA = SB = SC = SD = AB = BC = CD = DA = a.
Xét tam giác ADB vuông tại A, có BD2 = AD2 + AB2 = a2 + a2 = 2a2.
Mà SB2 + SD2 = a2 + a2 = 2a2. Do đó SB2 + SD2 = BD2 nên tam giác SBD vuông tại S.
Vì M, N lần lượt là trung điểm của cạnh SA, AB nên MN là đường trung bình của tam giác SAB, do đó MN // SB.
Khi đó (MN, SD) = (SB, SD) = 90°.
Vì O là giao điểm của AC và BD, ABCD là hình vuông nên O là trung điểm AC, BD.
Xét tam giác SAC có M là trung điểm SA, O là trung điểm AC nên MO là đường trung bình, suy ra MO // SC.
Khi đó (MO, SB) = (SC, SB) = = 60o (do tam giác SBC là tam giác đều).
b) Xét tam giác ABC có O là trung điểm AC, N là trung điểm AB nên ON là đường trung bình, suy ra ON // BC.
Vì ON // BC nên (SN, BC) = (SN, ON) = .
Vì tam giác SAC có SA = SC = a nên tam giác SAC cân tại S mà SO là trung tuyến nên SO là đường cao.
Vì BD2 = 2a2 và ABCD là hình vuông nên AC = BD = a AO = OC = .
Xét tam giác SOC vuông tại O, có:
SC2 = SO2 + OC2 a2 = SO2 + SO = .
Vì ON là đường trung bình của tam giác ABC nên ON = .
Xét tam giác đều SAB có SN là trung tuyến đồng thời là đường cao hay SN AB.
Xét tam giác vuông SNB vuông tại N, ta có:
SN2 + NB2 = SB2 SN2 + = a2 SN2 =
Lại có SO2 + ON2 = + = . Do đó tam giác SON vuông tại O.
Xét tam giác vuông SON vuông tại O có tan = = .
Vậy tang của góc giữa hai đường thẳng SN và BC là .
Lời giải:
Gọi A, B là hai điểm tại hai vị trí chân thang và C, D là hai điểm tại hai vị trí ngọn thang, EF là đường chân tường.
Ta có EF // AB nên (EF, AC) = (AB, AC) = .
Kẻ CH AB tại H, DK AB tại K.
Ta có CDKH là hình chữ nhật nên CH = DK, CD = HK.
Xét CHA và DKB có
CA = DB, = 90o , CH = DK nên CHA = DKB (c – g – c).
Suy ra AH = KB.
Khi đó AH = = 10 (cm) = 0,1 (m).
Vì tam giác ACH vuông tại H nên cos 89,05o.
Do đó, 89,05o.
Vậy góc tạo giữa đường thẳng chân tường và cạnh cột thang khoảng 89,05°.
Xem thêm các bài giải SBT Toán lớp 11 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác: