Giải SBT Toán 11 (Kết nối tri thức) Bài 24: Phép chiếu vuông góc. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Với giải sách bài tập Toán 11 Bài 24: Phép chiếu vuông góc. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng sách Kết nối tri thức hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập trong SBT Toán 11 Bài 24. Mời các bạn đón xem:

Sách bài tập Toán lớp 11 Bài 24: Phép chiếu vuông góc. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Bài 7.13 trang 30 SBT Toán 11 Tập 2Cho tứ diện ABCD có tất cả các cạnh bằng nhau và bằng a. Tính côsin của góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng (BCD).

Lời giải:

Cho tứ diện ABCD có tất cả các cạnh bằng nhau và bằng a

Kẻ AH  (BCD) tại H, ta có BH là hình chiếu vuông góc của AB trên mặt phẳng (BCD) nên góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng (BCD) bằng góc giữa hai đường AB và BH, mà (AB, BH) = ABH^ .

Vì AB = AC = AD nên HD = HB = HC hay H là tâm của tam giác BCD.

Gọi M là giao điểm của BH là CD.

Vì tam giác BCD đều cạnh a nên BM là đường cao, trung tuyến và BM = a32, suy ra BH = 23BM = a33.

Xét tam giác ABH vuông tại H có: cosABH^ = BHAB = a33a=33.

Vậy côsin của góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng (BCD) bằng 33 .

Bài 7.14 trang 30 SBT Toán 11 Tập 2Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, SA  (ABCD), SA = a2.

a) Tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD).

b) Tính tang của góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (SAB).

Lời giải:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông

a) Vì SA  (ABCD) nên AC là hình chiếu vuông góc của SC trên mặt phẳng (ABCD). Do đó góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) bằng góc giữa hai đường thẳng SC và AC, mà (SC, AC) = SCA^ .

Do ABCD là hình vuông cạnh a nên AC2 = AB2 + BC2 = 2a2 ⇒ AC = a2.

Vì SA  (ABCD) nên SA  AC mà SA = AC = a2 nên tam giác SAC vuông cân tại A. Do đó SCA^ = 45o.

Vậy góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) là 45°.

b) Vì SA  (ABCD) nên BC  SA mà BC  AB nên BC  (SAB), suy ra SB là hình chiếu vuông góc của SC trên mặt phẳng (SAB).

Do đó, góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (SAB) bằng góc giữa đường thẳng SC và đường thẳng SB, mà (SB,SC) = BSC^.

Xét tam giác SAB vuông tại A, có SB = SA2+AB2=a3

Xét tam giác SBC vuông tại B, ta có: tanBSC^ = BCSB=aa3=33.

Vậy tang của góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (SAB) bằng 33 .

Bài 7.15 trang 30 SBT Toán 11 Tập 2Cho hình chóp S.ABC có SA  (ABC), đáy là tam giác ABC vuông cân tại B, biết AB = a, SA = a6.

a) Tính tang của góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (SAC).

b) Tính sin của góc giữa đường thẳng AC và mặt phẳng (SBC).

Lời giải:

Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc (ABC), đáy là tam giác ABC

a) Kẻ BH  AC tại H, mà SA  (ABC) nên SA  BH nên BH  (SAC).

Do đó SH là hình chiếu vuông góc của SB trên mặt phẳng (SAC). Khi đó góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (SAC) bằng góc giữa hai đường thẳng SB và SH, mà (SH,SB) = BSH^.

Xét tam giác ABC vuông cân tại B, BH  AC, ta có:

1BH2=1AB2+1BC2=1a2+1a2=2a2BH=a22.

Xét tam giác ABH vuông tại H, có:

AB2 = BH2 + AH2 a2 = a222+AH2 AH2 = a22.

Vì SA  (ABC) nên SA  AC.

Xét tam giác SAH vuông tại A, có

SA2 + AH2 = SH2 (a6)2 + a22 = SH2 SH = a262.

Vì BH  (SAC) nên BH  SH.

Xét tam giác SHB vuông tại H, có tanBSH^ = HBSH = 1313.

Vậy tang của góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (SAC) là 1313 .

b) Kẻ AK  SB tại K.

Có SA  (ABC) nên SA  BC mà tam giác ABC vuông tại B nên BC  AB.

Do đó BC  (SAB) nên BC AK , suy ra AK  (SBC).

Do đó CK là hình chiếu vuông góc của AC trên (SBC), suy ra góc giữa đường thẳng AC và mặt phẳng (SBC) bằng góc giữa hai đường thẳng AC và CK, mà (AC,CK) = ACK^.

Xét tam giác SAB vuông tại A, AK  SB, có:

SB = SA2+AB2=a7;

SA.AB = SB.AK AK = SA.ABSB = a67.

Do tam giác ABC vuông cân tại B nên AC = AB2+BC2=a2 .

Vì AK  (SBC) nên AK  CK.

Xét tam giác ACK vuông tại K, có sinACK^=AKAC=37=217.

Vậy sin của góc giữa đường thẳng AC và mặt phẳng (SBC) là 217 .

Bài 7.16 trang 31 SBT Toán 11 Tập 2Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là hình vuông cạnh a và AA' = a2, hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng (A'B'C'D') trùng với trung điểm của B'D'. Tính góc giữa đường thẳng AA' và mặt phẳng (A'B'C'D').

Lời giải:

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là hình vuông cạnh a

Gọi O là giao điểm của A'C' và B'D'.

Khi đó, O là trung điểm của A'C' và B'D'.

Theo đề bài ta có O là hình chiếu của A trên mặt phẳng (A'B'C'D').

Do đó, A'O là hình chiếu vuông góc của AA' trên mặt phẳng (A'B'C'D'). Khi đó góc giữa đường thẳng AA' và mặt phẳng (A'B'C'D') bằng góc giữa AA' và A'O. Mà (AA',A'O) = AA'O^.

Vì hình hộp ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là hình vuông cạnh a nên A'B'C'D' là hình vuông cạnh a. Do đó A'C'2 = A'B'2 + B'C'2 = a2 + a2 = 2a2 ⇒ A'C' = a2.

A'O = a22.

Xét tam giác AOA' vuông tại O, có cosAA'O^ = OA'AA'=12AA'O^ = 60o.

Vậy góc giữa đường thẳng AA' và mặt phẳng (A'B'C'D') bằng 60°.

Bài 7.17 trang 31 SBT Toán 11 Tập 2Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O và các cạnh đều bằng a.

a) Chứng minh rằng SO  (ABCD).

b) Tính góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (SBD).

c) Gọi M là trung điểm của cạnh SC và α là góc giữa đường thẳng OM và mặt phẳng (SBC). Tính sinα.

Lời giải:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O

a) Có O là trung điểm của AC, BD.

Vì SA = SC nên tam giác SAC là tam giác cân mà SO là trung tuyến nên SO là đường cao hay SO  AC.

Tương tự SO  BD. Do đó SO  (ABCD).

b) Vì SO  (ABCD) nên SO  AO.

Lại có AO  BD (do ABCD là hình vuông). Do đó AO  (SBD).

Suy ra SO là hình chiếu vuông góc của SA trên mặt phẳng (SBD). Do đó góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (SBD) bằng góc giữa hai đường thẳng SA và SO.

Mà (SA,SO) = ASO^.

Xét tam giác ABC vuông tại B, có AC2 = AB2 + BC2 = a2 + a2 = 2a2.

Có SA+ SC2 = a2 + a2 = 2a2, suy ra AC2 = SA+ SC2. Do đó tam giác ASC vuông tại S mà SA = SC nên tam giác ASC vuông cân tại S.

Xét tam giác vuông cân ASC tại S có SO là đường cao nên SO là phân giác. Do đó ASO^ = 45o .

Vậy góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (SBD) bằng 45°.

c) Kẻ OK  BC tại K, OH  SK tại H.

Có BC  OK (cách vẽ), BC  SO (SO  (ABCD)). Do đó BC  (SOK), suy ra BC  OH mà OH  SK nên OH  (SBC).

Suy ra, HM là hình chiếu vuông góc của OM trên mặt phẳng (SBC), do đó góc giữa đường thẳng OM và mặt phẳng (SBC) bằng góc giữa hai đường thẳng OM và MH, mà (OM,MH) = OMH^=α.

Do tam giác SOC vuông tại O, OM là trung tuyến nên OM = SC2=a2.

Xét tam giác ABC có OK là đường trung bình nên OK = AB2=a2.

Xét tam giác SAC vuông tại S, có 1SO2=1SA2+1SC2=1a2+1a2SO=a22 .

Xét tam giác SOK vuông tại O, có 1OH2=1SO2+1OK2=42a2+4a2OH=a66 .

Xét tam giác OHM vuông tại H, có sinα = sinOMH^=OHOM=63.

Vậy sinα = 63.

Bài 7.18 trang 31 SBT Toán 11 Tập 2Một con diều được thả với dây căng, tạo với mặt đất một góc 60°. Đoạn dây diều (từ đầu ở mặt đất đến đầu ở con diều) dài 10 m. Hỏi hình chiếu vuông góc trên mặt đất của con diều cách đầu dây diều trên mặt đất bao nhiêu centimét (lấy giá trị nguyên gần đúng)?

Lời giải:

Một con diều được thả với dây căng, tạo với mặt đất một góc 60 độ

Gọi A là vị trí con diều, B là vị trí đầu dây diều trên mặt đất, H là hình chiếu vuông góc của A trên mặt đất.

Xét tam giác ABH vuông tại H, ABH^= 60o, AB = 10 m = 1 000 cm.

Ta có AH = AB . sin60° 866 (cm).

Vậy hình chiếu vuông góc trên mặt đất của con diều cách đầu dây diều trên mặt đất khoảng 866 centimét.

Xem thêm các bài giải SBT Toán lớp 11 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Bài 22: Hai đường thẳng vuông góc

Bài 23: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Bài 25: Hai mặt phẳng vuông góc

Bài 26: Khoảng cách

Bài 27: Thể tích

Câu hỏi liên quan

a) Kẻ BH vuông góc với AC tại H, mà SA vuông góc với (ABC) nên SA vuông góc với BH nên BH vuông góc với (SAC).
Xem thêm
Gọi O là giao điểm của A'C' và B'D'.
Xem thêm
a) Có O là trung điểm của AC, BD.
Xem thêm
a) Vì SA vuông góc với (ABCD) nên AC là hình chiếu vuông góc của SC trên mặt phẳng (ABCD). Do đó góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) bằng góc giữa hai đường thẳng SC và AC, mà (SC, AC) = SCA .
Xem thêm
Kẻ AH vuông góc với (BCD) tại H, ta có BH là hình chiếu vuông góc của AB trên mặt phẳng (BCD) nên góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng (BCD) bằng góc giữa hai đường AB và BH, mà (AB, BH) = ABH .
Xem thêm
Gọi A là vị trí con diều, B là vị trí đầu dây diều trên mặt đất, H là hình chiếu vuông góc của A trên mặt đất.
Xem thêm
Xem tất cả hỏi đáp với chuyên mục: Phép chiếu vuông góc. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng (SBT KNTT)
Bình luận (0)

Đăng nhập để có thể bình luận

Chưa có bình luận nào. Bạn hãy là người đầu tiên cho tôi biết ý kiến!