Bài 2 trang 70 SBT Toán 10 Tập 2: a) Biểu diễn hình học tập nghiệm D của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn sau:
.
b) Từ kết quả ở câu a), tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức F(x; y) = 2x + 3y trên miền D, biết rằng giá trị lớn nhất (tương ứng, nhỏ nhất) của F đạt được tại một trong các đỉnh của miền đa giác D.
a) Ta xác định miền nghiệm của từng bất phương trình trong hệ đã cho như sau:
Bước 1: Trục Oy có phương trình x = 0 và điểm (1; 0) thỏa mãn 1 > 0. Do đó miền nghiệm của bất phương trình x ≥ 0 là nửa mặt phẳng bờ Oy chứa điểm (1; 0) (miền không bị gạch).
Bước 2: Trục Ox có phương trình y = 0 và điểm (0; 1) thỏa mãn 1 > 0. Do đó, miền nghiệm của bất phương trình y ≥ 0 là nửa mặt phẳng bờ Ox chứa điểm (0; 1) (miền không bị gạch).
Bước 3: Vẽ đường thẳng d1: 3x – 2y = – 6. Lấy điểm O(0; 0) không thuộc d1 và thay x = 0, y = 0 vào biểu thức 3x – 2y ta được: 3 . 0 – 2 . 0 = 0 > – 6. Do đó, miền nghiệm của bất phương trình 3x – 2y ≥ – 6 là nửa mặt phẳng bờ d1 chứa điểm O(0; 0) (miền không bị gạch).
Bước 4: Vẽ đường thẳng d2: 2x + y = 10. Lấy điểm O(0; 0) không thuộc d2 và thay x = 0, y = 0 vào biểu thức 2x + y ta được: 2 . 0 + 0 = 0 < 10. Do đó, miền nghiệm của bất phương trình 2x + y ≤ 10 là nửa mặt phẳng bờ d2 chứa điểm O(0; 0) (miền không bị gạch).
Vậy miền nghiệm D của hệ bất phương trình đã cho là miền tứ giác OABC (miền không bị gạch), trong đó A(0; 3), B(2; 6), C(5; 0), như hình vẽ sau:
b) Vì giá trị lớn nhất (tương ứng, nhỏ nhất) của F đạt được tại một trong các đỉnh của miền đa giác D, do đó ta tính giá trị của F tại (x; y) là tọa độ các đỉnh O, A, B, C.
Ta có: F(0; 0) = 2 . 0 + 3 . 0 = 0;
F(0; 3) = 2 . 0 + 3 . 3 = 9;
F(2; 6) = 2 . 2 + 3 . 6 = 22;
F(5; 0) = 2 . 5 + 3 . 0 = 10.
Vậy giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức F(x; y) = 2x + 3y trên miền D lần lượt là 22 và 0.
Xem thêm các bài giải SBT Toán lớp 10 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:
Bài 26: Biến cố và định nghĩa cổ điển của xác suất