Trắc nghiệm Toán 10 Bài 3. Phương trình quy về phương trình bậc hai có đáp án

Trắc nghiệm Toán 10 Bài 3. Phương trình quy về phương trình bậc hai có đáp án

  • 144 lượt thi

  • 15 câu hỏi

  • 0 phút

Danh sách câu hỏi

Câu 1:

Tập nghiệm của phương trình: \[\sqrt {3 - x + {x^2}} - \sqrt {2 + x - {x^2}} = 1\] là:

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}3 - x + {x^2} \ge 0\\2 + x - {x^2} \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3 - x + {x^2} \ge 0\forall x\\ - 1 \le x \le 2\end{array} \right. \Leftrightarrow - 1 \le x \le 2\)

Xét phương trình:\[\sqrt {3 - x + {x^2}} - \sqrt {2 + x - {x^2}} = 1\]

\( \Leftrightarrow \sqrt {3 - x + {x^2}} = \sqrt {2 + x - {x^2}} + 1\)

Bình phương hai vế ta được

\[ \Rightarrow 3 - x + {x^2} = 1 + 2 + x - {x^2} + 2\sqrt {2 + x - {x^2}} \]

\[ \Rightarrow 2 + x - {x^2} + \sqrt {2 + x - {x^2}} - 2 = 0\] (*)

Đặt t = \[\sqrt {2 + x - {x^2}} \] (t ≥ 0)

(*) t2 + t – 2 = 0

\(\left[ \begin{array}{l}t = 1\\t = - 2\end{array} \right.\)

Vì t 0 nên t = 1 thỏa mãn)

\[ \Rightarrow \sqrt {2 + x - {x^2}} = 1\]

\[ \Rightarrow {x^2} - x - 1 = 0\]\[ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}\\x = \frac{{1 - \sqrt 5 }}{2}\end{array} \right.\]

Kết hợp với điều kiện phương trình có hai nghiệm \[\left[ \begin{array}{l}x = \frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}\\x = \frac{{1 - \sqrt 5 }}{2}\end{array} \right.\].

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = \[\left\{ {\frac{{1 + \sqrt 5 }}{2};\frac{{1 - \sqrt 5 }}{2}} \right\}\].


Câu 2:

Phương trình: \[\sqrt {{x^2} + x + 4} + \sqrt {{x^2} + x + 1} = \sqrt {2{x^2} + 2x + 9} \] có tích các nghiệm là:

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Điều kiện x \( \in \) ℝ, đặt t = x2 + x + 1; t > 0

Phương trình đã cho trở thành \[\sqrt {t + 3} + \sqrt t = \sqrt {2t + 7} \]

\( \Leftrightarrow \) 2t + 3 + 2\(\sqrt {t(t + 3)} \) = 2t + 7

\[ \Leftrightarrow \sqrt {t\left( {t + 3} \right)} = 2\]

\( \Leftrightarrow \) t(t + 3) = 4\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\\t = - 4\end{array} \right.\]

Kết hợp điều kiện ta có t = 1 thoả mãn

Với t = 1 ta có phương trình x2 + x + 1 = 1\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = - 1\end{array} \right.\]

Vậy tích các nghiệm của phương trình là: 0.(1) = 0


Câu 3:

Phương trình:\(\sqrt { - {x^2} + 6x - 5} = 8 - 2x\) có nghiệm là:

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Bình phương hai về ta có:

 – x2 + 6x – 5 = (8 – 2x)2

\( \Rightarrow \) – x2 + 6x – 5 = 4x2 – 32x + 64

\( \Rightarrow \) – 5x2 + 38x – 69 = 0

\( \Rightarrow \) x = 3 hoặc x = \(\frac{{23}}{5}\)

Thay lần lượt các nghiệm trên vào phương trình đã cho, ta thấy x = 3 thoả mãn

Vậy phương trình có nghiệm x = 3


Câu 4:

Phương trình: \[\sqrt {x + 2} = 4 - x\] có bao nhiêu nghiệm

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Bình phương hai vế ta được

x + 2 = (4 – x)2

\( \Rightarrow \) x + 2 = x2 – 8x + 16

\( \Rightarrow \) x2 – 9x + 14 = 0

\( \Rightarrow \) x = 2 hoặc x = 7

Thay lần lượt các nghiệm trên vào phương trình đã cho, ta thấy x = 2 thoả mãn

Vậy phương trình có nghiệm x = 2


Câu 5:

Số nghiệm của phương trình \[\sqrt {8 - {x^2}} = \sqrt {x + 2} \]

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Bình phương hai vế ta có

8 – x2 = x + 2

\( \Rightarrow \) – x2 – x + 6 = 0

\( \Rightarrow \) x = 2 hoặc x = – 3

Thay lần lượt hai nghiệm trên vào phương trình đã cho, ta thấy x = 2 thoả mãn

Vậy phương trình có 1 nghiệm x = 2


Câu 6:

Nghiệm của phương trình \[\sqrt {3x + 13} = x + 3.\]

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Bình phương hai vế phương trình đã cho ta có

3x + 13 = (x + 3)2

\( \Rightarrow \) 3x + 13 = x2 + 6x + 9

\( \Rightarrow \) x2 + 3x – 4 = 0

\( \Rightarrow \) x = 1 hoặc x = –4

Thay lần lượt hai nghiệm trên vào phương trình đã cho, ta thấy x = 1 thoả mãn

Vậy phương trình có nghiệm x = 1


Câu 7:

Phương trình: \[x + \sqrt {4 - {x^2}} = 2 + 3x\sqrt {4 - {x^2}} \] có bao nhiêu nghiệm lớn hơn hoặc bằng 0:

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Điều kiện: –2 ≤ x ≤ 2

\[x + \sqrt {4 - {x^2}} = 2 + 3x\sqrt {4 - {x^2}} \]

\( \Leftrightarrow \sqrt {(2 - x)(2 + x)} = 2 - x + 3x\sqrt {(2 - x)(2 + x)} \)

\[ \Leftrightarrow \sqrt {2 - x} \left( {\sqrt {2 - x} + \left( {3x - 1} \right)\sqrt {2 + x} } \right) = 0\]

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\2 - x = \left( {2 + x} \right){\left( {1 - 3x} \right)^2}(*)\end{array} \right.\]

Giải phương trình (*)

2 – x = (2 + x)(1 – 6x + 9x2)

\( \Rightarrow \) x(9x2 + 12x – 10) = 0

\( \Rightarrow \) x = 0; x = \(\frac{{ - 2 + \sqrt {14} }}{3}\) hoặc x = \(\frac{{ - 2 - \sqrt {14} }}{3}\)

Kết hợp điều kiện được ba nghiệm thỏa mãn là: x = 0; x = 2 ; x = \(\frac{{ - 2 - \sqrt {14} }}{3}\).

Vậy phương trình có 2 nghiệm lớn hơn hoặc bằng 0.


Câu 8:

Số nghiệm của phương trình: \[\sqrt {x + 8 - 2\sqrt {x + 7} } = 2 - \sqrt {x + 1 - \sqrt {x + 7} } \] là:

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Đặt \(t = \sqrt {x + 7} \) , điều kiện t ≥ 0.

Ta có \(\sqrt {{t^2} + 1 - 2t} = 2 - \sqrt {{t^2} - 6 - t} \)\( \Leftrightarrow \left| {t - 1} \right| = 2 - \sqrt {{t^2} - t - 6} \)

Nếu t ≥ 1 thì ta có \(3 - t = \sqrt {{t^2} - t - 6} \)

\( \Rightarrow \) 9 – 6t + t2 = t2 – t – 6

\( \Rightarrow \) – 5t + 15 = 0

\( \Rightarrow \) t = 3 (thỏa mãn)

Với t = 3 ta có \(\sqrt {x + 7} = 3\)

\( \Rightarrow \) x + 7 = 9

\( \Rightarrow \) x = 2

Nếu t < 1 thì ta có \(1 + t = \sqrt {{t^2} - t - 6} \)

t2 + 2t + 1 = t2 – t – 6

\( \Leftrightarrow t = - \frac{7}{3}\)(loại)

Vậy phương trình có 1 nghiệm x = 2.


Câu 9:

Nghiệm của phương trình \[\sqrt {5{x^2} - 6x - 4} = 2(x - 1)\]

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Bình phương hai vế của phương trình ta có

5x2 – 6x – 4 = (2(x – 1))2

\( \Rightarrow \) 5x2 – 6x – 4 = 4x2 – 8x + 4

\( \Rightarrow \) x2 + 2x – 8 = 0

\( \Rightarrow \) x = 2 hoặc x = – 4

Thay lần lượt hai nghiệm trên vào phương trình đã cho, ta thấy x = 2 thoả mãn

Vậy phương trình có nghiệm x = 2.


Câu 10:

Số nghiệm của phương trình\[\sqrt {{x^2} + 5} = {x^2} - 1\]

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Bình phương hai vế của phương trình ta có

x2 + 5 = (x2 – 1)2

\( \Rightarrow \) x2 + 5 = x4 – 2x2 + 1

\( \Rightarrow \) x4 – 3x2 – 4 = 0

\( \Rightarrow \) x = 2 hoặc x = – 2

Thay lần lượt hai nghiệm trên vào phương trình đã cho, ta thấy x = 2, x = – 2 thoả mãn

Vậy phương trình có hai nghiệm x = 2 hoặc x = – 2


Câu 11:

Nghiệm của phương trình \[\sqrt {{x^2} - 4x - 12} = x - 4\]

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Bình phương hai vế của phương trình ta có

x2 – 4x – 12 = (x – 4)2

\( \Rightarrow \) x2 – 4x – 12 = x2 – 8x + 16

\( \Rightarrow \) 4x = 28

\( \Rightarrow \) x = 7

Thay nghiệm trên vào phương trình đã cho, ta thấy x = 7 thoả mãn

Vậy phương trình có nghiệm x = 7


Câu 12:

Giải phương trình: \[\sqrt {2{x^2} - 6x + 4} = x - 2\]

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Bình phương hai vế của phương trình ta được

2x2 – 6x + 4 = (x – 2)2

\( \Rightarrow \) 2x2 – 6x – 4 = x2 – 4x + 4

\( \Rightarrow \) x2 – 2x = 0

\( \Rightarrow \) x = 2 hoặc x = 0

Thay lần lượt các nghiệm trên vào phương trình đã cho, ta thấy x = 2 thoả mãn

Vậy phương trình có nghiệm x = 2


Câu 13:

Số nghiệm của phương trình \(\sqrt {2{x^2} - 2x + 4} = \sqrt {{x^2} - x + 2} \)

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Bình phương hai vế của phương trình ta có

2x2 – 2x + 4 = x2 – x + 2

\( \Rightarrow \) x2 – x + 2 = 0

Phương trình có = (– 1)2 – 4.1.2 = – 7 < 0

Suy ra phương trình vô nghiệm

Vậy số nghiệm của phương trình là 0.


Câu 14:

Tổng các nghiệm phương trình \({x^2} - 6x + 9 = 4\sqrt {{x^2} - 6x + 6} \)

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Đặt \(\sqrt {{x^2} - 6x + 6} = t(t > 0)\) ta có

t2 + 3 – 4t = 0

\( \Rightarrow \) t = 1 (thỏa mãn) hoặc t = 3 (thỏa mãn)

Với t = 1 ta có phương trình \(\sqrt {{x^2} - 6x + 6} = 1\)

\( \Rightarrow \) x2 – 6x + 6 = 1

\( \Rightarrow \) x2 – 6x + 5 = 0

\( \Rightarrow \) x = 1 hoặc x = 5

Thay lần lượt các nghiệm trên vào phương trình đã cho, ta thấy x = 1, x = 5 thoả mãn

Với t = 3 ta có phương trình \(\sqrt {{x^2} - 6x + 6} = 3\)

\( \Rightarrow \) x2 – 6x + 6 = 9

\( \Rightarrow \) x2 – 6x – 3 = 0

\( \Rightarrow \) x = \(3 + 2\sqrt 3 \) hoặc x = \(3 - 2\sqrt 3 \)

Thay lần lượt các nghiệm trên vào phương trình đã cho, ta thấy x = \(3 + 2\sqrt 3 \), x = \(3 - 2\sqrt 3 \)thoả mãn

Vậy tổng các nghiệm của phương trình là: 1 + 5 + \(3 + 2\sqrt 3 \)+\(3 - 2\sqrt 3 \) = 12.


Câu 15:

Tích các nghiệm của phương trình (x + 4)(x + 1) – 3\(\sqrt {{x^2} + 5x + 2} \) = 6 là

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

(x + 4)(x + 1) – 3\(\sqrt {{x^2} + 5x + 2} \) = 6 \( \Leftrightarrow \) x2 + 5x – 2 – 3\(\sqrt {{x^2} + 5x + 2} \) = 0

Đặt \(\sqrt {{x^2} + 5x + 2} \) = t (t > 0)

Ta có phương trình

t2 – 3t – 4 = 0

\( \Rightarrow \) t = – 1 hoặc t = 4

Với t = 4 ta có \(\sqrt {{x^2} + 5x + 2} \) = 4

\( \Rightarrow \) x2 + 5x + 2 = 16

\( \Rightarrow \) x2 + 5x – 14 = 0

\( \Rightarrow \) x = 2 hoặc x = – 7

Thay lần lượt các nghiệm trên vào phương trình, ta thấy x = 2, x = – 7 thoả mãn

Vậy phương trình có hai nghiệm x = 2; x = – 7

Tích các nghiệm của phương trình là – 14.


Bắt đầu thi ngay