Xét biếu thức f(x) = x² + 2x + 1 có ∆ = 0 và nghiệm là x = – 1; a = 1 > 0.

Ta có bảng xét dấu như sau:

Đáp án đúng là: C

Xét đáp án A có f(x) = x + 2 là nhị thức bậc nhất

Xét đáp án B có f(x) = 2x³ + 2x² – 1 là biểu thức bậc ba

Xét đáp án C có f(x) = x² – 3x là tam thức bậc hai

Xét đáp án D có f(x) = 2x – 1 là nhị thức bậc nhất

Để f(x) không dương thì x² – 6x + 8 ≤ 0

Xét biểu thức f(x) = x² – 6x + 8 có ∆ = 4 > 0, hai nghiệm phân biệt là x = 2; x = 4 và a = 1 > 0.

Ta có bảng xét dấu sau

Đáp án đúng là: C

Ta có: f(x) = x² + 4x + m + 3  luôn luôn dương \[ \Leftrightarrow \] x² + 4x + m + 3 > 0 với mọi x \[ \in \]ℝ \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1 > 0\\\Delta ' = {2^2} - (m + 3) < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1 > 0\\m > 1\end{array} \right.\].

Vậy đáp án đúng là C.

Đáp án đúng là: D

Xét đáp án A: f(x) = x² – 5x + 6 

Xét biểu thức f(x) = x² – 5x + 6 có ∆ = 1 > 0, hai nghiệm phân biệt là x = 2 ; x = 3 và a = 1 > 0

Ta có bảng xét dấu

Trường hợp 1, m = 0. Khi đó: f(x) = – 1 < 0\(\forall x \in \mathbb{R}\). Vậy m = 0 thoả mãn bài toán.

Trường hợp 2, m ≠ 0. Khi đó:

f(x) = mx² – 2mx + m – 1 < 0 \(\forall x \in \mathbb{R}\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = m < 0\\\Delta ' = {m^2} - m\left( {m - 1} \right) < 0\end{array} \right.\).\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = m < 0\\m < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m < 0\)

Vậy m ≤ 0 thỏa mãn bài toán.

Đáp án đúng là: C

+) Với m = 0 thì f(x) = – x, f(x) > 0 ⇔ – x > 0 ⇔ x < 0. Do đó m = 0 không thỏa mãn.

Ta có để f(x) = mx² – x + m > 0, \(\forall x \in \mathbb{R}\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 0\\\Delta = {\left( { - 1} \right)^2} - 4.m.m < 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 0\\1 - 4{m^2} < 0\end{array} \right.\)

Xét biểu thức g(m) = 1 – 4m² có ∆ = 16 > 0, hai nghiệm phân biệt là m = \(\frac{1}{2}\), m = \( - \frac{1}{2}\) và a = – 4 < 0

Ta có bảng xét dấu

Đáp án đúng là: D

Xét tam thức y = – x² – 3x – 4 có ∆ = – 7, và a = – 1 < 0

Ta có bảng xét dấu

Đáp án đúng là: A

Trường hợp 1, m = 0 ta có f(x) < 0 \( \Leftrightarrow \) – 2x – 1 < 0 \( \Leftrightarrow x > - \frac{1}{2}\)

Do đó m = 0 không thỏa yêu cầu bài toán.

Trường hợp 2, m ≠ 0

Ta có để f(x) < 0 với mọi x \( \in \) ℝ \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 0\\\Delta ' < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 0\\1 + m < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m < - 1\].

Đáp án đúng là: D

Để biểu thức f(x) = (m + 2)x² – 3mx + 1 là tam thức bậc hai thì m + 2 ≠ 0 \( \Leftrightarrow \) m ≠ – 2.

Đáp án đúng là: B

Ta có f(x) = (m² + 2)x² – 2(m – 2)x + 2 luôn nhận giá trị dương \( \Leftrightarrow \)(m² + 2)x² – 2(m – 2)x + 2 > 0 với mọi x \( \in \) ℝ \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a > 0\\{\Delta ^/} < 0\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} + 2 > 0\\ - {m^2} - 4m < 0\end{array} \right.\]

Vì m² + 2 > 0 với mọi m nên để (m² + 2)x² – 2(m – 2)x + 2 > 0 thì – m² – 4m < 0

Xét f(m) = – m² – 4m có ∆ = 16 > 0, hai nghiệm phân biệt là m = 0; m = – 4 và a = – 1 < 0. Ta có bảng xét dấu:

Đáp án đúng là: B

Ta có: f(x) = x² – (m + 2)x + 8m + 1  đổi dấu \(2\) lần khi phương trình x² – (m + 2)x + 8m + 1 = 0 có 2 nghiệm phân biệt

Vậy ∆ = (– (m + 2))² – 4.1.(8m + 1) > 0 \( \Leftrightarrow \) m² – 28m > 0

Xét f(m) = m² – 28m có ∆’ = 196 > 0, hai nghiệm phân biệt là m = 0; m = 28 và a = 1 > 0. Ta có bảng xét dấu

Đáp án đúng là: A

Để f(x) ≥ 0 với mọi x \( \in \) ℝ \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1 > 0\\\Delta ' \le 0\end{array} \right.\)

Ta có ∆’ = m² – 3m + 2 ≤ 0

Xét f(m) = m² – 3m + 2 có ∆ = 1 > 0, hai nghiệm phân biệt là m = 1; m = 2 và a = 1 > 0. Ta có bản xét dấu

Đáp án đúng là: A

Từ đồ thị ta có:

Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 2 điểm có hoành độ x = – 1 và x = 3 nên f(x) có 2 nghiệm phân biệt là x = –1; x = 3 ta loại đáp án C và D.

f(x) nhận giá trị dương trên các khoảng (– ∞; –1) và (3; + ∞); f(x) nhận giá trị âm trên khoảng (–1; 3) ta loại đáp án B.