Giải bài tập Toán lớp 8 Bài 4: Tính chất đường phân giác của tam giác
Tại sao ta luôn có tỉ lệ thức CMCN=AMAN?
Lời giải:
Sau bài học này, chúng ta sẽ giải quyết được câu hỏi trên như sau:
Do ABCD là hình vuông nên đường chéo AC là đường phân giác của góc BAD hay góc MAN.
Xét ∆AMN có AC là đường phân giác của góc MAN nên CMCN=AMAN (tính chất đường phân giác).
a) Tính độ dài các đoạn thẳng DB, DC.
b) Tính độ dài các đoạn thẳng AB, AC.
c) So sánh các tỉ số DBDC, ABAC.
Lời giải:
a) Do mỗi ô vuông có độ dài cạnh bằng 1 cm nên:
⦁ Đoạn thẳng DB có độ dài bằng độ dài cạnh của 2 ô vuông nên DB dài 2 cm.
⦁ Đoạn thẳng DC có độ dài bằng độ dài cạnh của 3 ô vuông nên DC dài 3 cm.
b) Ta thấy:
⦁ AB là bán kính đường tròn tâm B. Mà bán kính đường tròn tâm B có độ dài 4 ô vuông, tương ứng với 4 cm nên AB dài 4 cm.
⦁ AC là bán kính đường tròn tâm C. Mà bán kính đường tròn tâm C có độ dài 6 ô vuông, tương ứng với 6 cm nên AC dài 6 cm.
c) Ta có: DBDC=23;ABAC=46=23
Vậy DBDC=ABAC.
Luyện tập 1 trang 67 Toán 8 Tập 2: Giải bài toán nêu trong phần mở đầu.
Lời giải:
Do ABCD là hình vuông nên đường chéo AC là đường phân giác của góc BAD hay góc MAN.
Xét ∆AMN có AC là đường phân giác của góc MAN nên CMCN=AMAN (tính chất đường phân giác).
Lời giải:
Xét tam giác ABC có AD là đường phân giác nênDBDC=ABAC (tính chất đường phân giác).
Mà AB < AC, suy ra ABAC<1.
Do đó DBDC<1 nên DB < DC.
Lời giải:
Xét tam giác ABC với ba đường phân giác AD, BE, CF, ta có:
DBDC=ABAC; ECEA=BCBA; FAFB=CACB (tính chất đường phân giác)
Do đó DBDC⋅ECEA⋅FAFB=ABAC⋅BCBA⋅CACB=AB⋅BC⋅CACA⋅AB⋅BC=1.
Vậy DBDC⋅ECEA⋅FAFB=1.
Lời giải:
Từ B kẻ đường thẳng song song với AC, cắt AD tại K.
Vì BK // AC nên theo hệ quả của định lí Thalès, ta có: DBDC=BKAC
Mà DBDC=ABAC (giả thiết) nên BKAC=ABAC, do đó BK = AB.
Khi đó tam giác ABK cân tại B nên ^BAK=^BKA
Mà BK // AC nên ^BKA=^KAC (hai góc so le trong)
Suy ra ^BAK=^KAC
Vậy AD là đường phân giác trong tam giác BAC.
Bài tập
Lời giải:
Áp dụng tính chất đường phân giác cho tam giác ABC, ta có:
⦁ DBDC=ABAC (do AD là đường phân giác của góc BAC)
Suy ra DBBC−DB=ABAC hay BD5−BD=46
Do đó 6BD = 4(5 – BD)
6BD = 20 – 4BD
6BD + 4BD = 20
10BD = 20
BD = 2.
⦁ECEA=BCBA (do BE là đường phân giác của góc ABC)
Suy ra ECAC−EC=BCBA hay CE6−CE=54
Do đó 4CE = 5(6 – CE)
4CE = 30 – 5CE
4CE + 5CE = 30
9CE = 30
CE=309=103
⦁FAFB=CACB (do CF là đường phân giác của góc ACB)
Suy ra FAAB−FA=CACB hay AF4−AF=65
Do đó 5AF = 6(4 – AF)
5AF = 24 – 6AF
5AF + 6AF = 24
11AF = 24
AF=2411.
Lời giải:
Theo tính chất đường phân giác trong tam giác, ta có:
⦁ ECEA=BCBA (do BE là đường phân giác của góc ABC trong ∆ABC);
⦁ DMDA=BMBA (do BD là đường phân giác của góc ABM trong ∆ABM).
Mà BC = 2BM (do AM là đường trung tuyến của ∆ABC)
Suy ra ECEA=BCBA=2BMBA=2DMDA.
Vậy ECEA=2DMDA.
Bài 3 trang 69 Toán 8 Tập 2: Quan sát Hình 43 và chứng minh DBDC:EBEG=AGAC.
Lời giải:
⦁ DBDC=ABAC (do AD là đường phân giác của góc BAC trong ∆ABC);
⦁ EBEG=ABAG (do AE là đường phân giác của góc BAG trong ∆ABG).
Suy ra: DBDC:EBEG=ABAC:ABAG=ABAC⋅AGAB=AGAC
Vậy DBDC:EBEG=AGAC.
Theo tính chất đường phân giác trong tam giác, ta có:
Lời giải:
Do ABCD là hình thoi nên AD = AB và AC là đường phân giác của góc BAC.
Xét ∆AMD có AN là đường phân giác góc MAD nên NDNM=ADAM
Hay NDNM=AD13AB (vì AB = 3AM)
Do đó NDNM=AB13AB=3
Vậy ND = 3MN
a) Độ dài các đoạn thẳng BC, DB, DC;
b) Khoảng cách từ điểm D đến đường thẳng AC;
Lời giải:
a) Xét tam giác ABC vuông tại A, theo định lí Pythagore, ta có:
BC2 = AB2 + AC2 = 32 + 42 = 25 = 52
Suy ra BC = 5.
Theo tính chất đường phân giác trong tam giác, ta có: DBDC=ABAC (do AD là đường phân giác của góc BAC)
Suy ra DBBC−DB=ABAC hay DB5−DB=34
Do đó 4DB = 3(5 – DB)
4DB = 15 – 3DB
4DB + 3DB = 15
7DB = 15
DB=157
Khi đó DC=BC−DB=5−157=207
Vậy BC=5; DB=157; DC=207.
b) Kẻ DH ⊥ AC (H ∈ AC).
Suy ra DH // AB (cùng vuông góc với AC)
Áp dụng hệ quả của định lí Thalès trong tam giác ABC với DH // AB, ta có:
DHBA=CDCB hay DH3=2075
Suy ra DH=3⋅2075=127
Vậy khoảng cách từ điểm D đến đường thẳng AC là DH=127.
c) Xét tam giác ABC với DH // AB, ta có: AHAC=BDBC (hệ quả của định lí Thalès)
Hay AH4=1575, suy ra AH=4⋅1575=127
Xét tam giác AHD vuông tại H, ta có: AD2 = AH2 + DH2 (định lí Pythagore)
Suy ra AD2=(127)2+(127)2=28849
Do đó AD=√28849=√144⋅249=√(12√27)2=12√27
Vậy độ dài đường phân giác AD là 12√27.
Lời giải:
Theo tính chất đường phân giác trong hai tam giác ACD và BCD, ta có:
⦁ ECED=ACAD (do AE là đường phân giác của góc CAD);
⦁ ECED=BCBD (do BE là đường phân giác của góc CBD).
Suy ra ACAD=BCBD
Vậy AD.BC = AC.BD.
Xem thêm các bài giải SGK Toán lớp 8 Cánh Diều hay, chi tiết khác: