Giải SGK Toán 7 Bài 15 (Kết nối tri thức): Các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông

1900.edu.vn xin giới thiệu giải bài tập Toán lớp 7 Bài 15: Các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông sách Kết nối tri thức hay nhất, chi tiết giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán 7 Bài 15. Mời các bạn đón xem:

Giải Toán 7 Bài 15: Các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông

Video giải bài tập Toán 7 Bài 15: Các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông

Mở đầu 

Mở đầu trang 75 Toán 7 Tập 1Quan sát hai chiếc cột dựng thẳng đứng, cạnh nhau và cao bằng nhau. Vì Mặt Trời ở rất xa Trái Đất, nên vào buổi chiều các tia nắng Mặt Trời tạo với hai chiếc cột các góc xem như bằng nhau.

Bạn Vuông: Tớ thấy bóng hai chiếc cột dài bằng nhau, vì sao vậy nhỉ?

Bạn Tròn: Đấy là do hai chiếc cột cao bằng nhau đấy!

Lí do mà bạn Tròn đưa ra như vậy có đúng không? Qua bài học này, các em sẽ có câu trả lời cho câu hỏi trên.

Tài liệu VietJack

Lời giải:

Sau bài học này chúng ta sẽ giải quyết được câu hỏi trên như sau:

Hình ảnh hai chiếc cột dựng thẳng đứng cao bằng nhau và tia nắng Mặt Trời tạo với hai chiếc cột các góc bằng nhau được mô tả như hình vẽ dưới đây:

GT

ΔABC vuông tại A, ΔA'B'C' vuông tại A';

AB = A'B', B^=B'^. 

KL

AC = A'C'.

Tài liệu VietJack

Xét tam giác ABC (vuông tại A) và tam giác A'B'C' (vuông tại A') có:

AB = A'B' (theo giả thiết);

B^=B'^ (theo giả thiết).

Vậy ΔABC=ΔA'B'C'(cạnh góc vuông – góc nhọn kề).

Suy ra AC = A'C' (hai góc tương ứng).

Do đó khi tia nắng Mặt Trời tạo với hai chiếc cột bằng nhau các góc bằng nhau thì hai chiếc bóng của hai chiếc cột đó bằng nhau.

Vậy lí do mà bạn Tròn đưa ra là đúng. 

1. Ba trường hợp bằng nhau của tam giác vuông

Giải Toán 7 trang 75 Tập 1

HĐ 1 trang 75 Toán 7 Tập 1Hai tam giác vuông ABC (vuông tại đỉnh A) và A'B'C' (vuông tại đỉnh A') có các cặp cạnh góc vuông bằng nhau:

AB = A'B', AC = A'C' (H.4.45).

Dựa vào trường hợp bằng nhau cạnh – góc – cạnh của hai tam giác, hãy giải thích vì sao hai tam giác vuông ABC và A'B'C' bằng nhau.

Tài liệu VietJack

Lời giải:

GT

ABC vuông tại A, ΔA'B'C' vuông tại A';

AB = A'B', AC = A'C'.

KL

ΔABC=ΔA'B'C'(c.g.c).

Tài liệu VietJack

Tam giác ABC vuông tại A (theo giả thiết) nên A^=90°; 

Tam giác A'B'C' vuông tại A' (theo giả thiết) nên A'^=90°; 

Do đó A^=A'^=90°. 

Xét tam giác ABC và tam giác A'B'C' có:

AB = A'B' (theo giả thiết);

A^=A'^ (chứng minh trên);

AC = A'C' (theo giả thiết).

Vậy ΔABC=ΔA'B'C'(c.g.c). 

Giải Toán 7 trang 76 Tập 1

HĐ 2 trang 76 Toán 7 Tập 1: Hai tam giác vuông ABC (vuông tại đỉnh A) và A'B'C' (vuông tại đỉnh A') có tương ứng một cạnh góc vuông và một góc nhọn kề với cạnh ấy bằng nhau: AB = A'B', B^=B'^ (H.4.46).

Dựa vào trường hợp bằng nhau góc – cạnh – góc của hai tam giác, hãy giải thích vì sao hai tam giác vuông ABC và A'B'C' bằng nhau.

Tài liệu VietJack

Lời giải:

GT

ABC vuông tại A, ΔA'B'C' vuông tại A';

AB = A'B', B^=B'^. 

KL

ΔABC=ΔA'B'C'(g.c.g).

Tài liệu VietJack

Tam giác ABC vuông tại A (theo giả thiết) nên A^=90°; 

Tam giác A'B'C' vuông tại A' (theo giả thiết) nên A'^=90°. 

Do đó A^=A'^=90°. 

Xét tam giác ABC và tam giác A'B'C' có:

A^=A'^ (chứng minh trên);

AB = A'B' (theo giả thiết);

B^=B'^ (theo giả thiết).

Vậy ΔABC=ΔA'B'C' (g.c.g). 

Luyện tập 1 trang 76 Toán 7 Tập 1Quay trở lại tình huống mở đầu, ta thấy mỗi chiếc cột với bóng của nó tạo thành hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông. Hai tam giác vuông này có hai cặp cạnh tương ứng bằng nhau và hai góc ở đỉnh chiếc cột của hai tam giác này cũng bằng nhau. Vậy lí do mà bạn Tròn đưa ra có đúng không?

Lời giải:

Hình ảnh hai chiếc cột dựng thẳng đứng cao bằng nhau và tia nắng Mặt Trời tạo với hai chiếc cột các góc bằng nhau được mô tả như hình vẽ dưới đây:

GT

ABC vuông tại A, ΔA'B'C' vuông tại A';

AB = A'B', B^=B'^. 

KL

AC = A'C' .

Tài liệu VietJack

Xét tam giác ABC (vuông tại A) và tam giác A'B'C' (vuông tại A') có:

AB = A'B' (theo giả thiết);

B^=B'^ (theo giả thiết).

Vậy ΔABC=ΔA'B'C' (cạnh góc vuông – góc nhọn kề).

Suy ra AC = A'C' (hai góc tương ứng).

Do đó khi tia nắng Mặt Trời tạo với hai chiếc cột bằng nhau các góc bằng nhau thì hai chiếc bóng của hai chiếc cột đó bằng nhau.

Vậy lí do mà bạn Tròn đưa ra là đúng. 

HĐ 3 trang 76 Toán 7 Tập 1Hình 4.47 mô phỏng chiều dài và độ dốc của hai con dốc bởi các đường thẳng BC, B'C' và các góc B, B'. Khi đó AC, A'C' mô tả độ cao của hai con dốc.

a) Dựa vào trường hợp bằng nhau góc – cạnh – góc của hai tam giác, hãy giải thích vì sao hai tam giác vuông ABC và A’B’C’  bằng nhau.

b) So sánh độ cao của hai con dốc.

Tài liệu VietJack

Lời giải:

Hình ảnh hai con dốc trong đề bài được mô tả bởi hình vẽ dưới đây:

GT

ABC vuông tại A, ΔA'B'C' vuông tại A';

BC = B'C', B^=B'^ 

KL

AC = A'C'.

Tài liệu VietJack

+) Tam giác ABC vuông tại A nên hai góc nhọn của tam giác phụ nhau.

Do đó B^+C^=90°. Suy ra C^=90°B^. 

Tam giác A'B'C' vuông tại A' nên hai góc nhọn của tam giác phụ nhau.

Do đó B'^+C'^=90°. Suy ra C'^=90°B'^. 

Mà B^=B'^ (theo giả thiết).

Do đó 90°B^=90°B'^.

Suy ra C^=C'^. 

Xét tam giác ABC và tam giác A'B'C' có:

B^=B'^ (theo giả thiết);

BC = B'C' (theo giả thiết);

C^=C'^ (chứng minh trên).

Vậy ΔABC=ΔA'B'C' (g.c.g).

b) Từ ΔABC=ΔA'B'C' (chứng minh câu a) suy ra AC = A'C' (hai cạnh tương ứng).

Vậy độ cao của hai con dốc đó bằng nhau. 

Giải Toán 7 trang 77 Tập 1

Câu hỏi trang 77 Toán 7 Tập 1: Trong Hình 4.48, hãy tìm các cặp tam giác vuông bằng nhau và giải thích vì sao chúng bằng nhau.

Tài liệu VietJack

Lời giải:

+) Xét tam giác ABC (vuông tại A) và tam giác XYZ (vuông tại X) có:

AC = XZ (theo giả thiết);

C^=Z^ (theo giả thiết).

Vậy ΔABC=ΔXYZ (cạnh góc vuông – góc nhọn kề).

+) Xét tam giác DEF (vuông tại D) và tam giác GHK (vuông tại G) có:

EF = HK (theo giả thiết);

F^=K^ (theo giả thiết).

Vậy ΔDEF=ΔGHK (cạnh huyền – góc nhọn).

+) Xét tam giác MNP (vuông tại M) và tam giác RTS (vuông tại R) có:

MN = RT (theo giả thiết);

MP = RS (theo giả thiết).

Vậy ΔDEF=ΔGHK (hai cạnh góc vuông). 

Luyện tập 2 trang 77 Toán 7 Tập 1Cho Oz là tia phân giác của góc xOy. Lấy điểm M trên tia Oz và hai điểm A, B lần lượt trên các tia Ox, Oy sao cho MA vuông góc với Ox, MB vuông góc với Oy (H.4.50). Chứng minh rằng MA = MB.

Tài liệu VietJack

Lời giải:

GT

Tia Oz là tia phân giác của góc xOy;

MOzMAOx tại A, MBOy tại B.

KL

MA = MB.

Tài liệu VietJack

Tia Oz là tia phân giác của góc xOy nên xOz^=yOz^ (tính chất tia phân giác của một góc).

Hay AOM^=BOM^.

Vì MAOx tại A nên A^=90°; MBOy tại B nên B^=90°.

Do đó tam giác OAM vuông tại A và tam giác OBM vuông tại B.

Xét tam giác OAM (vuông tại A) và tam giác OBM (vuông tại B) có:

OM là cạnh chung;

AOM^=BOM^ (chứng minh trên).

Vậy ΔOAM=ΔOBM (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra MA = MB (hai cạnh tương ứng).

2. Trường hợp bằng nhau đặc biệt của tam giác vuông

Giải Toán 7 trang 78 Tập 1

HĐ 4 trang 78 Toán 7 Tập 1: Vẽ tam giác vuông ABC có A^=90°, AB = 3 cm, BC = 5 cm theo các bước sau:

- Dùng thước thẳng có vạch chia vẽ đoạn thẳng AB = 3 cm.

- Vẽ tia Ax vuông góc với AB và cung tròn tâm B bán kính 5 cm như Hình 4.51.

Cung tròn cắt tia Ax tại điểm C.

- Vẽ đoạn thẳng BC ta được tam giác ABC.

Tài liệu VietJack

Lời giải:

Bước 1. Dùng thước thẳng có vạch chia vẽ đoạn thẳng AB = 3 cm ta được hình vẽ dưới đây:

Tài liệu VietJack

Bước 2. Vẽ tia Ax vuông góc với AB và cung tròn tâm B bán kính 5 cm, cung tròn cắt tia Ax tại điểm C như hình dưới đây

Tài liệu VietJack

Bước 3. Vẽ đoạn thẳng BC ta được tam giác ABC như hình vẽ sau:

Tài liệu VietJackHĐ 5 trang 77 Toán 7 Tập 1Tương tự, vẽ thêm tam giác A'B'C' có A'^=90°, A'B' = 3 cm, B'C' = 5 cm.

a) Dùng thước thẳng có vạch chia hoặc compa kiểm tra xem AC có bằng A'C' không.

b) Hai tam giác ABC và A'B'C' có bằng nhau không?

Lời giải:

Thực hiện tương tự như Hoạt động 4, ta vẽ được tam giác A'B'C' thỏa mãn yêu cầu.

Ta có hình vẽ:

Tài liệu VietJack

a) Dùng thước thẳng có vạch chia để đo độ dài hai đoạn thẳng AC và A'C' ta được:

AC = 4 cm, A'C' = 4 cm.

Do đó AC = A'C'.

b) Hai tam giác ABC (vuông tại A) và A'B'C' (vuông tại A') có:

AB = A'B' (= 3 cm); AC = A'C' (= 4 cm).

Vậy ΔABC=ΔA'B'C' (hai cạnh góc vuông).  

Câu hỏi trang 78 Toán 7 Tập 1: Hãy chỉ ra các cặp tam giác vuông bằng nhau dưới đây.

Toán 7 Bài 15: Các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông - Kết nối tri thức (ảnh 1)

Lời giải:

+) ΔABC=ΔGHK 

Xét tam giác ABC (vuông tại A) và tam giác GHK (vuông tại G) có:

AB = GH, BC = HK.

Vậy ΔABC=ΔGHK (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

+) ΔDEF=ΔMNP 

Xét tam giác DEF (vuông tại D) và tam giác MNP (vuông tại M) có:

DF = MP, EF = NP.

Vậy ΔDEF=ΔMNP (cạnh huyền – cạnh góc vuông). 

Giải Toán 7 trang 79 Tập 1

Luyện tập 3 trang 79 Toán 7 Tập 1: Cho ba điểm A, B, C nằm trên đường tròn tâm O và các điểm M, N, P như Hình 4.54. Hãy chỉ ra ba cặp tam giác vuông bằng nhau trong hình.

Tài liệu VietJack

Lời giải:

Ba điểm A, B, C nằm trên đường tròn tâm O nên ta có OA = OB = OC.

+) ΔOAP=ΔOBP. 

Xét tam giác OAP (vuông tại P) và tam giác OBP (vuông tại P) có:

OA = OB (chứng minh trên);

OP là cạnh chung.

Vậy ΔOAP=ΔOBP (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

+) ΔOBM=ΔOCM.

Xét tam giác OBM (vuông tại M) và tam giác OCM (vuông tại M) có:

OB = OC (chứng minh trên);

OM là cạnh chung.

Vậy ΔOBM=ΔOCM (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

+) ΔOAN=ΔOCN.

Xét tam giác OAN (vuông tại N) và tam giác OCN (vuông tại N) có:

OA = OC (chứng minh trên);

ON là cạnh chung.

Vậy ΔOAN=ΔOCN (cạnh huyền – cạnh góc vuông). 

Thử thách nhỏ trang 79 Toán 7 Tập 1Có hai chiếc thang dài như nhau được dựa vào một bức tường với cùng độ cao BH = B'H' như Hình 4.55. Các góc BAH và B'A'H' có bằng nhau không? Vì sao?

Tài liệu VietJack

Lời giải:

Hai chiếc thang dài như nhau dựa vào bức tường với cùng độ cao được mô tả dưới hình vẽ sau:

Tài liệu VietJack

GT

ΔABHH^=90°;

ΔA'B'H'H'^=90°;

AB = A'B', BH = B'H'.

KL

BAH^=B'A'H'^.

Xét tam giác ABH (vuông tại H) và tam giác B'A'H' (vuông tại H') có:

AB = A'B' (theo giả thiết);

BH = B'H' (theo giả thiết).

Vậy ΔABH=ΔA'B'H' (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Suy ra BAH^=B'A'H'^ (hai góc tương ứng).

Vậy BAH^=B'A'H'^. 

Bài tập

Bài 4.20 trang 79 Toán 7 Tập 1: Mỗi hình sau có các cặp tam giác vuông nào bằng nhau? Vì sao?

Tài liệu VietJack

Lời giải:

a)

Tài liệu VietJack

Xét tam giác ABC (vuông tại C) và tam giác ADC (vuông tại C) có:

AC là cạnh chung, BAC^=DAC^ (theo giả thiết).

Vậy ΔABC=ΔADC (cạnh góc vuông – góc nhọn kề).

b)

Tài liệu VietJack

Xét tam giác EGH (vuông tại E) và tam giác FHG (vuông tại F) có:

EH = FG (theo giả thiết), GH là cạnh chung.

Vậy ΔEGH=ΔFHG (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

c)

Tài liệu VietJack

Xét tam giác MNP(vuông tại M) và tam giác MQK (vuông tại M) có:

NP = QK (theo giả thiết), MPN^=MKQ^ (theo giả thiết).

Vậy ΔMNP=ΔMQK (cạnh huyền – góc nhọn).

d)

Tài liệu VietJack

Xét tam giác SVT (vuông tại S) và tam giác TUS (vuông tại T) có:

SV = TU (theo giả thiết); ST là cạnh chung.

Vậy ΔSVT=ΔTUS (hai cạnh góc vuông). 

Bài 4.21 trang 79 Toán 7 Tập 1Cho Hình 4.56, biết AB = CD, BAC^=BDC^=90°. Chứng minh rằng ΔABE=ΔDCE.

Tài liệu VietJack

Lời giải:

GT

AB = CD, BAC^=BDC^=90°.

KL

ΔABE=ΔDCE. 

Tài liệu VietJack

Chứng minh (hình vẽ trên):

Theo giả thiết BAC^=BDC^=90° ta có tam giác ABE vuông tại A và tam giác DCE vuông tại D.

Tam giác ABE vuông tại A nên hai góc nhọn của tam giác phụ nhau.

Tức là ABE^+AEB^=90° suy ra ABE^=90°AEB^.

Tam giác DCE vuông tại D nên hai góc nhọn của tam giác phụ nhau.

Tức là DCE^+DEC^=90° suy ra DCE^=90°DEC^.

Mà AEB^=DEC^ (hai góc đối đỉnh).

Do đó 90°AEB^=90°DEC^ hay ABE^=DCE^.

Xét tam giác ABE (vuông tại A) và tam giác DCE (vuông tại D) có:

AB = DC (theo giả thiết);

ABE^=DCE^(chứng minh trên).

Vậy ΔABE=ΔDCE (cạnh góc vuông – góc nhọn kề).

Bài 4.22 trang 79 Toán 7 Tập 1Cho hình chữ nhật ABCD, M là trung điểm của cạnh BC.

Chứng minh rằng ΔABM=ΔDCM.

Lời giải:

GT

ABCD là hình chữ nhật;

M là trung điểm BC.

KL

ΔABM=ΔDCM.

Tài liệu VietJack

Chứng minh (hình vẽ trên):

ABCD là hình chữ nhật (theo giả thiết) nên B^=C^=90° và AB = CD.

Do đó tam giác ABM vuông tại B và tam giác DCM vuông tại C.

M là trung điểm cạnh BC nên MB = MC (định nghĩa trung điểm của đoạn thẳng).

Xét tam giác ABM (vuông tại B) và tam giác DCM (vuông tại C) có:

AB = DC (chứng minh trên);

MB = MC (chứng minh trên).

Vậy ΔABM=ΔDCM(hai cạnh góc vuông). 

Xem thêm lời giải bài tập SGK Toán lớp 7 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Bài 14: Trường hợp bằng nhau thứ hai và thứ ba của tam giác

Luyện tập chung trang 74

Bài 16: Tam giác cân. Đường trung trực của đoạn thẳng

Luyện tập chung trang 86

Bài tập cuối chương 4 trang 87

Xem tất cả hỏi đáp với chuyên mục: Các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông
Bình luận (0)

Đăng nhập để có thể bình luận

Chưa có bình luận nào. Bạn hãy là người đầu tiên cho tôi biết ý kiến!