Giải Toán 11 Bài 4: Hàm số lượng giác và đồ thị giác
Lời giải:
Sau khi học xong bài học này, chúng ta sẽ nhận biết được đồ thị hình sin và hình ảnh mặt cắt của sóng nước trên mặt hồ chính là một ví dụ điển hình.
1. Hàm số lượng giác
a) Giá trị sint và cost;
b) Giá trị tant (nếu ) và cost (nếu ).
Lời giải:
Trên đường tròn lượng giác, điểm M là điểm biểu diễn góc lượng giác có số đo t, khi đó:
- Tung độ của điểm M là sint.
- Hoành độ của điểm M là cost.
Vì tung độ và hoành độ của điểm M là xác định duy nhất nên sint và cost xác định duy nhất.
b) Nếu thì tan t = xác định duy nhất vì sint và cost xác định duy nhất.
Nếu tk thì cot t = xác định duy nhất vì sint và cost xác định duy nhất.
2. Hàm số chẵn, hàm số lẻ, hàm số tuần hoàn
Lời giải:
+) Xét Hình 2a): Tập xác định của hàm số là: D = ℝ
Tại x = 1 thì y = 12 = 1, x = – 1 thì y = (– 1)2 = 1.
Tại x = 2 thì y = 22 = 4, x = – 2 thì y = (– 2)2 = 4.
Nhận xét: Ta thấy với x ∈ D thì – x ∈ D thì
Đồ thị hàm số đối xứng với nhau qua trục Oy.
+) Xét Hình 2b): Tại x = 1 thì y = 2.1 = 2, x = – 1 thì y = 2.(– 1) = – 2.
Tại x = 2 thì y = 2.2 = 4, x = – 2 thì y = 2.(– 2) = – 4.
Nhận xét: Đồ thị hàm số đối xứng với nhau qua trục Oy.
Lời giải:
+) Xét hàm số y = sinx có tập xác định D = ℝ
Lấy x ∈ D thì – x ∈ D và sin(– x) = – sinx. Do đó hàm số y = sinx là hàm số lẻ.
+) Xét hàm số y = cotx có tập xác định D = ℝ
Lấy x ∈ D thì – x ∈ D và cot(– x) = – cotx. Do đó hàm số y = cotx là hàm số lẻ.
Lời giải:
Với số thực T = 2π thì sin(x + 2π) = sinx.
Thực hành 2 trang 27 Toán 11 Tập 1: Xét tính tuần hoàn của hàm số y = cosx và hàm số y = cotx.
Lời giải:
Ta có: cos(x + 2π) = cosx với mọi x ∈ ℝ;
cot(x + π) = cotx với mọi .
Do đó hàm số y = cosx và y = cotx là các hàm số tuần hoàn và tuần hoàn với chu kì T lần lượt là: 2π và π.
3. Đồ thị của các hàm số lượng giác
x |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
y = sinx |
? |
? |
? |
? |
? |
? |
? |
? |
? |
? |
? |
? |
? |
Lời giải:
Với thì . Ta có điểm A’(–π; 0).
Với thì . Ta có điểm
Với thì . Ta có điểm
Với thì . Ta có điểm
Với thì . Ta có điểm
Với thì . Ta có điểm
Với thì . Ta có điểm O(0; 0).
Với thì . Ta có điểm .
Với thì . Ta có điểm .
Với thì . Ta có điểm .
Với thì . Ta có điểm .
Với thì . Ta có điểm .
Với thì . Ta có điểm A(π; 0).
Khi đó ta có bảng:
x |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
y = sinx |
0 |
|
|
– 1 |
|
|
0 |
|
|
1 |
|
|
0 |
Biểu diễn các điểm trên trên mặt phẳng tọa độ ta được:
x |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
y = cosx |
? |
? |
? |
? |
? |
? |
? |
? |
? |
? |
? |
? |
? |
Lời giải:
Với x = thì y = cos() = -1. Ta có điểm A’(–π; – 1).
Với x = thì y = cos. Ta có điểm B'.
Với x = thì . Ta có điểm C'.
Với x = thì y = cos. Ta có điểm D'.
Với x = thì y = cos. Ta có điểm E'.
Với x = thì y = cos. Ta có điểm F'.
Với x = 0 thì y = cos0 = 1. Ta có điểm I(0; 1).
Với x = thì y = cos. Ta có điểm F.
Với x = thì y = cos. Ta có điểm F.
Với x = thì y = cos. Ta có điểm E.
Với x = thì y = cos. Ta có điểm D.
Với x = thì y = cos. Ta có điểm .
Với x = thì . Ta có điểm A(π; – 1).
Khi đó ta có bảng:
x |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
y = cosx |
– 1 |
|
|
0 |
|
- |
0 |
|
|
0 |
|
|
–1 |
Biểu diễn các điểm trên trên mặt phẳng tọa độ ta được:
Thực hành 3 trang 30 Toán 11 Tập 1: Cho hàm số y = cos x với x
a) Vẽ đồ thị hàm số đã cho.
b) Tại các điểm nào thì giá trị của hàm số lớn nhất?
c) Tìm các giá trị của x thuộc sao cho sin<0.
Lời giải:
Nội dung đang được cập nhật...
(Theo https://www.britannica.com/science/simple-harmonic-motion)
Lời giải:
Nội dung đang được cập nhật...
x |
|
|
|
0 |
|
|
|
y = tanx |
? |
? |
? |
? |
? |
? |
? |
Lời giải:
Với thì . Ta có điểm A'.
Với thì . Ta có điểm B'.
Với thì . Ta có điểm C'.
Với thì . Ta có điểm O(0;0).
Với thì . Ta có điểm C.
Với thì . Ta có điểm B.
Với thì . Ta có điểm A.
Khi đó ta có bảng:
x |
|
|
|
0 |
|
|
|
y = tanx |
|
-1 |
|
0 |
|
1 |
|
Biểu diễn các điểm trên trên mặt phẳng tọa độ ta được:
x |
|
|
|
|
|
|
|
y = cotx |
? |
? |
? |
? |
? |
? |
? |
Lời giải:
Với thì . Ta có điểm A'.
Với thì . Ta có điểm B'.
Với thì . Ta có điểm C'.
Với thì . Ta có điểm D'.
Với thì . Ta có điểm C.
Với thì . Ta có điểm B.
Với thì . Ta có điểm A.
Khi đó ta có bảng:
x |
|
|
|
|
|
|
|
y = cotx |
|
1 |
|
0 |
|
– 1 |
- |
Biểu diễn các điểm trên trên mặt phẳng tọa độ ta được:
Lời giải:
Cách 1: Ta có đồ thị của hàm số trên đoạn [–2π; 2π] là:
Do đó có 4 giá trị x thỏa mãn điều kiện bài toán.
(Theo https://geologyscience.com/geology/types-of-maps/)
Lời giải:
Nội dung đang được cập nhật
Bài tập
Bài 1 trang 32 Toán 11 Tập 1: Các hàm số dưới đây có là hàm số chẵn hay hàm số lẻ không?
a) y = 5sin2x + 1;
b) y = cosx + sinx;
c) y = tan2x.
Lời giải:
a) Xét hàm số: y = 5sin2x + 1, có:
Tập xác định D = ℝ.
Nếu x ∈ D thì – x ∈ D có y( – x) = 5sin2(– x) + 1 = 5sin2 x + 1 = y(x).
Vì vậy hàm số này là hàm chẵn.
b) Xét hàm số: y = cosx + sinx
Tập xác định: D = ℝ
Nếu x ∈ D thì – x ∈ D có y( – x) = cos(– x) + sin(– x) = cosx – sin x ≠ y(x).
Vì vậy hàm số này không là hàm chẵn cũng không là hàm lẻ.
c) y = tan2x.
Tập xác định D = .
Nếu x ∈ D thì – x ∈ D có y( – x) = tan(– 2x) = – tan2x ≠ y(x).
Vì vậy hàm số này là hàm lẻ.
Bài 2 trang 32 Toán 11 Tập 1: Tìm tập xác định của các hàm số sau:
a) ;
b) ;
c) .
Lời giải:
a) Điều kiện xác định là:
Suy ra tập xác định của hàm số là: .
b) Điểu kiện xác định là:
Suy ra tập xác định của hàm số là: .
c) Điều kiện xác định là:
Vì nên với mọi x ∈ ℝ.
Suy ra tập xác định của hàm số là: D = ℝ.
Bài 3 trang 33 Toán 11 Tập 1: Tìm tập giá trị của hàm số y = 2cosx + 1.
Lời giải:
Ta có: – 1 ≤ cosx ≤ 1 khi đó – 1 ≤ 2cosx + 1 ≤ 3.
Vậy tập giá trị của hàm số là D = [– 1; 3].
Lời giải:
Đồ thị của hàm số y = sinx trên đoạn [– π; π] là:
Ta thấy đồ thị hàm số giao với đường thẳng tại 2 điểm do đó phương trình sinx = có hai giá trị x thỏa mãn.
a) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của vx.
b) Dựa vào độ thị của hàm số sin, hãy cho viết trong các vòng quay đầu tiên (0 ≤ α ≤ 2π), góc α ở trong các khoảng nào thì vx tăng.
Lời giải:
a) Vì – 1 ≤ sin α ≤ 1 nên – 0,3 ≤ 0,3sin α ≤ 0,3.
Do đó giá trị nhỏ nhất của vx là – 0,3, giá trị lớn nhất của vx là 0,3.
b) Ta có đồ thị hàm số:
Với góc hoặc thì vx tăng.
a) Viết hàm số h biểu diễn chiều cao (tính bằng mét) của gàu G so với mặt nước theo góc α = (OA, OG).
b) Guồng nước quay hết mỗi vòng trong 30 giây. Dựa vào đồ thị của hàm số sin hãy cho biết ở các thời điểm t nào trong 1 phút đầu, khoảng cách của gàu đến mặt nước bằng 1,5m.
Lời giải:
a) Điểm G là điểm biểu diễn cho góc lượng giác có số đo α. Khi đó tọa độ điểm G(3cosα; 3sinα).
Chiều cao của gàu ở vị trí G đến mặt nước là: 3 + 3sinα (m).
b) Khoảng cách của gàu đến mặt nước bằng 1,5m khi 3 + 3sinα = 1,5 ⇔ sinα =.
Một vòng quay là 30 giây và t nằm trong khoảng từ 0 đến 1 phút do đó t ∈ [0; 2π].
a) Biểu diễn tọa độ xH của điểm H trên trục Tx theo α.
b) Dựa vào đồ thị hàm số côtang, hãy cho biết với thì xH nằm trong khoảng nào. Làm tròn kết quả đến hàng phần mười.
Lời giải:
a) Xét tam giác AHT vuông tại H có:
.
Vậy trên trục Tx tọa độ .
b) Ta có đồ thị của hàm số y = cotα trong khoảng là:
Khi đó
hay .
Xem thêm các bài giải SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:
Bài 2: Giá trị lượng giác của một góc lượng giác
Bài 3: Các công thức lượng giác
Bài 5: Phương trình lượng giác