Giải SGK Toán 11 (Chân trời sáng tạo) Bài 2: Giá trị lượng giác của một góc lượng giác

Giải Toán 11 Bài 2: Giá trị lượng giác của một góc lượng giác

Hoạt động khởi động trang 13 Toán 11 Tập 1: Hình bên biểu diễn xích đu IA có độ dài 2m dao động quanh trục IO vuông góc với trục Ox trên mặt đất và A’ là hình chiếu của A lên Ox. Tọa độ s của A’ trên trục Ox được gọi là li độ của A và (IO, IA) = α được gọi là li độ góc của A. Làm cách nào để tính li độ dựa vào li độ góc?

Lời giải:

Kẻ AH vuông góc với IO tại H

Xét tam giác AHI vuông tại H, có:

AH = sinα . IA = 2sinα (m).

AH cũng chính là li độ của A nên s = 2sinα.

1. Giá trị lượng giác của góc lượng giác

Hoạt động khám phá 1 trang 13 Toán 11 Tập 1: Trong Hình 1, M và N là điểm biểu diễn của các góc lượng giác $\frac{2\pi }{3}$ và $-\frac{\pi }{4}$ trên đường tròn lượng giác. Xác định tọa độ của M và N trong hệ trục tọa độ Oxy.

Lời giải:

Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của điểm M xuống trục Ox và Oy; gọi E, F lần lượt là hình chiếu của điểm N trên trục Ox và Oy.

Đặt (OA, OM) = $\alpha$, (OA, ON) = $\beta$.

+) Xét tam giác MHO vuông tại H, có:

MH = sin$\widehat{MOH}$.MO = sin$\widehat{MOH}$

Ta có $\widehat{MOH}+\widehat{AOM}=180°$ nên sin$\widehat{MOH}$ = sin$\widehat{AOM}$.

⇒ MH = sin$\widehat{AOM}$ = sinα.

Mà MH = OK nên OK = sinα hay tung độ điểm M bằng sinα.

Ta lại có: OH = cos$\widehat{MOH}$.MO = cos$\widehat{MOH}$

Mà $\widehat{MOH}+\widehat{AOM}=180°$ nên cos$\widehat{MOH}$ = -cos$\widehat{AOM}$

⇒ OH = -cos$\widehat{AOM}$ = – cosα do đó hoành độ của điểm M bằng cosα.

Vậy tọa độ điểm M là (cosα; sinα) = $\left(\text{cos}\frac{2\pi }{3};\sin \frac{2\pi }{3}\right)=\left(-\frac{1}{2};\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$.

+) Xét tam giác ONE vuông tại E, có:

NE = sin$\widehat{NOE}$.ON = sin$\widehat{NOE}$

Mà $\widehat{NOE}$= -$\beta$

⇒ NE = – sinβ.

Mà NE = OF nên OF = – sinβ do đó tung độ điểm N bằng sinβ.

Ta lại có: OE = cos$\widehat{NOE}$.ON = cos$\widehat{NOE}$

⇒ OE = cosβ nên hoành độ của điểm M bằng cosβ.

Vậy tọa độ điểm N là

(cosβ; sinβ) = 

Thực hành 1 trang 15 Toán 11 Tập 1: Tính sin$\left(-\frac{2\pi }{3}\right)$ và tan495°.

Lời giải:

Ta có: sin$\left(-\frac{2\pi }{3}\right)$ = -sin$\left(\frac{2\pi }{3}\right)$ = $-\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ta có tan495° = – tan135° = – tan45° = $-\frac{\text{cos}45°}{\sin 45°}$ = -1.

2. Tính giá trị lượng giác của một góc bằng máy tính cầm tay

Thực hành 2 trang 16 Toán 11 Tập 1: Sử dụng máy tính cầm tay để tính cos75° và tan$\left(\frac{-19\pi }{6}\right)$.

Lời giải:

Sử dụng máy tính cầm tay ta tính được:

cos75° = $\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$;

tan$\left(\frac{-19\pi }{6}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{3}$.

3. Hệ thức cơ bản giữa các giá trị lượng giác của một góc lượng giác

Hoạt động khám phá 2 trang 16 Toán 11 Tập 1: a) Trong Hình 5, M là điểm biểu diễn của góc lượng giác α trên đường tròn lượng giác. Giải thích vì sao sin²α + cos²α = 1.

b) Chia cả hai vễ của biểu thức ở câu a) cho cos²α ta được đẳng thức nào?

c) Chia cả hai vế của biểu thức ở câu a) cho sin²α ta được đẳng thức nào?

Lời giải:

a) M là điểm biểu diễn của góc lượng giác α trên đường tròn lượng giác nên tọa độ điểm M là (cosα; sinα) nên MH = sinα, OH = cosα.

Ta lại có: MH² + OH² = 1 (định lí Pythagore)

Hay sin²α + cos²α = 1.

b) Vì OH = cosα > 0 nên cos²α ≠ 0 nên chia cả hai vế của biểu thức của câu a) cho cos²α, ta được:

c) Vì MH = sinα > 0 nên sin²α ≠ 0 nên chia cả hai vế của biểu thức của câu a) cho sin²α, ta được:

Thực hành 3 trang 17 Toán 11 Tập 1: Cho tan$\alpha =\frac{2}{3}$ với $\pi <\alpha <\frac{3\pi }{2}$. Tính cosα và sinα.

Lời giải:

Ta có:

Vì $\pi <\alpha <\frac{3\pi }{2}$ nên điểm biểu diễn của góc α trên đường tròn lượng giác thuộc góc phần tư thứ III, do đó cosα < 0 nên cos$\alpha =-\frac{3}{\sqrt{13}}$.

⇒ sinα = tanα.cosα = tan$\alpha$.cos$\alpha$ = $\frac{2}{3}.\left(-\frac{3}{\sqrt{13}}\right)=-\frac{2}{\sqrt{13}}$.

4. Giá trị lượng giác của các góc lượng giác có liên quan đặc biệt

Hoạt động khám phá 3 trang 17 Toán 11 Tập 1: Cho $\alpha =\frac{\pi }{3}$. Biểu diễn các góc lượng giác – α, α + π, π – α, $\frac{\pi }{2}-\alpha$ trên đường tròn lượng giác và rút ra mối liên hệ giữa giá trị lượng giác của các góc này với giá trị lượng giác của góc α.

Lời giải:

Biểu diễn góc lượng giác $-\frac{\pi }{3}$:

Biểu diễn góc lượng giác $\frac{\pi }{3}+\pi =\frac{4\pi }{3}$:

Biểu diễn góc lượng giác $\pi -\frac{\pi }{3}=\frac{2\pi }{3}$:

Biểu diễn góc lượng giác $\frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{6}$

Thực hành 4 trang 19 Toán 11 Tập 1: a) Biểu diễn cos638° qua giá trị lượng giác của góc có số đo từ 0° đến 45°.

b) Biểu diễn cot$\frac{19\pi }{5}$ qua giá trị lượng giác của góc có số đo từ 0 đến $\frac{\pi }{4}$.

Lời giải:

a) Ta có: cos638° = cos(2.360° + (– 82°)) = cos(– 82°) = cos82° = cos(90° – 8°) = sin8°.

b) Ta có: $\cot \frac{19\pi }{5}=\cot \left(4\pi -\frac{\pi }{5}\right)=\cot \left(-\frac{\pi }{5}\right)=-\cot \frac{\pi }{5}$.

Vận dụng trang 19 Toán 11 Tập 1: Trong Hình 11, vị trí cabin mà Bình và Cường ngồi trên vòng quay được đánh dấu bởi điểm B và C.

a) Chứng minh rằng chiều cao từ điểm B đến mặt đất bằng (13 + 10sinα) mét với α là số đo của một góc lượng giác tia đầu OA, tia cuối OB. Tính độ cao của điểm B so với mặt đất khi α = – 30°.

b) Khi điểm B cách mặt đất 4m thì điểm C cách mặt đất bao nhiêu mét? Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm.

Lời giải:

a) Ta có điểm B là điểm biểu diễn cho góc lượng giác có số đo góc là α trên đường tròn lượng giác có bán kính bằng 10 nên tọa độ điểm B(10cosα; 10sinα).

Vì vậy chiều cao từ điểm B đến mặt đất là: 13 + 10sinα (mét).

Với α = – 30° ta có chiều cao từ điểm B đến mặt đất là: 13 + 10sin.(– 30°) = 8 (mét).

b) Đặt (OA, OC) = β = α – 90°

Nếu điểm B cách mặt đất 4m thì 13 + 10sinα = 4

⇔ sinα = $-\frac{9}{10}$

Ta có sinα = cos(α – 90°) = $-\frac{9}{10}$

⇒ cos(α – 90°) = $-\frac{9}{10}$

⇒ cosβ = $-\frac{9}{10}$

⇒ sinβ = $-\sqrt{1^2-{\left(\frac{9}{10}\right)}^2}=-\frac{\sqrt{19}}{10}$

Vì vậy chiều cao từ điểm C đến mặt đất là: 13 + 10sinβ = 13 + 10.$\left(-\frac{\sqrt{19}}{10}\right)$ ≈ 8,64 (mét).

Bài tập

Bài 1 trang 19 Toán 11 Tập 1: Các đẳng thức sau có thể đồng thời xảy ra không?

a) sinα = $\frac{3}{5}$ và cosα = $-\frac{4}{5}$;

b) sinα = $\frac{1}{3}$ và cotα = $\frac{1}{2}$;

c) tanα = 3 và cotα = $\frac{1}{3}$.

Lời giải:

a) Với – 1 ≤ sinα = $\frac{3}{5}$ ≤ 1 và – 1 ≤ cosα = $-\frac{4}{5}$ ≤ 1, ta có:

sin²α + cos²α = ${\left(\frac{3}{5}\right)}^2+{\left(-\frac{4}{5}\right)}^2$= 1.

Vậy sinα = $\frac{3}{5}$ và cosα = $-\frac{4}{5}$ có thể đồng thời xảy ra.

b) Với – 1 ≤ sinα = $\frac{1}{3}$ ≤ 1 và cotα = $\frac{1}{2}$, ta có:

1 + cot²α = $1+{\left(\frac{1}{2}\right)}^2=1+\frac{1}{4}=\frac{5}{4}$

$\frac{1}{{\sin }^2\alpha }=\frac{1}{{\left(\frac{1}{3}\right)}^2}=9$

Do đó 1 + cot²α ≠ $\frac{1}{{\sin }^2\alpha }$.

Vì vậy sinα = $\frac{1}{3}$ và cotα = $\frac{1}{2}$ không đồng thời xảy ra.

c) Với tanα = 3 và cotα = $\frac{1}{3}$, ta có:

tanα . cotα = 3. $\frac{1}{3}$ = 1.

Vì vậy tanα = 3 và cotα = $\frac{1}{3}$ đồng thời xảy ra.

Bài 2 trang 19 Toán 11 Tập 1: Cho sinα = $\frac{12}{13}$ và cosα = $-\frac{5}{13}$. Tính $\sin \left(-\frac{15\pi }{2}-\alpha \right)-\text{cos}\left(13\pi +\alpha \right)$.

Lời giải:

Bài 3 trang 19 Toán 11 Tập 1: Tính các giá trị lượng giác của góc α, nếu:

a) sin$\alpha$ = $\frac{5}{13}$ và $\frac{\pi }{2}<\alpha <\pi$;

b) cos$\alpha$ = $\frac{2}{5}$ và $0°<\alpha <90°$;

c) tan$\alpha$ = $\sqrt{3}$ và $\pi <\alpha <\frac{3\pi }{2}$;

d) cot$\alpha$ = $\frac{1}{2}$ và $270°<\alpha <360°$.

Lời giải:

a) Ta có:

Vậy $\text{cos}\alpha =-\frac{12}{13},\tan \alpha =-\frac{5}{12},\cot \alpha =-\frac{12}{5}$.

b) Ta có:

Vậy $\sin \alpha =\frac{\sqrt{21}}{5},\tan \alpha =\frac{\sqrt{21}}{2},\cot \alpha =\frac{2}{\sqrt{21}}$.

c) Ta có: tan$\alpha$ = $\sqrt{3}$$\Rightarrow$cot$\alpha$ = $\frac{1}{\sqrt{3}}$

Ta lại có:

Vậy $\sin \alpha =-\frac{\sqrt{3}}{2},\text{cos}\alpha =-\frac{1}{2},\cot \alpha =\frac{1}{\sqrt{3}}$.

d) Ta có: $\text{cot}\alpha =-\frac{1}{2}\Rightarrow \text{tan}\alpha =-2$

Ta lại có:

Vậy $\sin \alpha =-\frac{2}{\sqrt{5}},\text{cos}\alpha =\frac{1}{\sqrt{5}},\tan \alpha =-2$.

Bài 4 trang 19 Toán 11 Tập 1: Biểu diễn các giá trị lượng giác sau qua các giá trị lượng giác của góc có số đo từ 0 đến $\frac{\pi }{4}$ hoặc từ 0 đến 45° và tính:

a) cos$\frac{21\pi }{6}$;

b) sin$\frac{129\pi }{4}$;

c) tan1 020°.

Lời giải:

a) Ta có: .

b) .

c) tan1 020° = tan(3.180° – 60°) = tan(180° – 60°) = – tan60° = – cot30°.

Bài 5 trang 19 Toán 11 Tập 1: Chứng minh đẳng thức lượng giác sau:

a) sin⁴α – cos⁴α = 1 – 2cos²α;

b) tanα + cotα = $\frac{1}{\sin \alpha .\text{cos}\alpha }$.

Lời giải:

a) Ta có: sin⁴α – cos⁴α = (sin²α – cos²α).(sin²α + cos²α ) = sin²α + cos²α – 2cos²α = 1 – 2cos²α.

b) Ta có: tanα + cotα =

.

Bài 6 trang 19 Toán 11 Tập 1: Rút gọn các biểu thức sau:

Lời giải:

Bài 7 trang 20 Toán 11 Tập 1: Thanh OM quay ngược chiều kim đồng hồ quanh trục O của nó trên một mặt phẳng thẳng đứng và in bóng vuông góc xuống mặt đất như Hình 12. Vị trí ban đầu của thanh là OA. Hỏi độ dài bóng O’M’ của OM khi thanh quay được $3\frac{1}{10}$ vòng là bao nhiêu, biết độ dài thanh OM là 15 cm? Kết quả làm tròn đến hàng phần mười.

Lời giải:

Đặt hệ trục tọa độ như hình vẽ:

Kẻ MH vuông góc với Ox.

Điểm M là điểm biểu diễn góc lượng giác α

Ta có: $\alpha =3\frac{1}{10}.360°=1116°$

Khi đó M(cos1116°.15; sin1116°.15)

Suy ra OH = |cos1116°|.15 ≈12,1.

Vậy độ dài bóng O’M’ của OM khi thanh quay được $3\frac{1}{10}$ vòng là 12,1 cm.

Bài 8 trang 20 Toán 11 Tập 1: Khi đạp xe di chuyển, van V của bánh xe quay quanh trục O theo chiều kim đồng hồ với tốc độ góc không đổi là 11 rad/s (Hình 13). Ban đầu van nằm ở vị trí A. Hỏi sau một phút di chuyển , khoảng cách từ van đến mặt đất là bao nhiêu, biết bán kính OA = 58 cm? Giả sử độ dàu của lốp xe không đáng kể. Kết quả làm tròn đến hàng phần mười.

Lời giải:

Sau một phút di chuyển, van V đã quay được một góc lượng giác có số đo góc là: α = 11.60 = 660 (rad).

Khi đó tọa độ điểm V biểu diễn cho góc lượng giác trên có tọa độ là:

V(58.cosα; 58.sinα) ≈ (56; 15,2)

Khi đó khoảng cách từ van đến mặt đất khoảng 58 – 15,2 = 42,8 cm.

Hoạt động khởi động trang 20 Toán 11 Tập 1: Trong kiến trúc, các vòm cổng bằng đá thường có hình nửa đường tròn để có thể chịu lực tốt. Trong hình bên, vòm cổng được ghép bởi sáu phiến đá hai bên tạo thành các cung AB, BC, CD, EF, FG, GH bằng nhau và một phiến đá chốt ở đỉnh. Nếu biết chiều rộng cổng và khoảng cách từ điểm B đến đường kính AH, làm thế nào để tính được khoảng cách từ điểm C đến AH?

Lời giải:

Đặt chiều rộng cổng AH = d.

⇒ OA = OB = $\frac{1}{2}$d.

Xét tam giác OBB’ vuông tại B’, có:

$\sin \widehat{BOB\text{'}}=\frac{BB\text{'}}{OB}=\frac{27}{\frac{d}{2}}=\frac{54}{d}$.

Vì  nên sđ = 2.sđ $\Rightarrow \widehat{AOC}=2\widehat{BOB\text{'}}$

Xét tam giác OCC’ vuông tại C’, có:

Sau bài học này ta sẽ giải quyết tiếp được bài toán như sau:

Vậy khoảng cách này từ điểm C đến AH là $\frac{108}{d}\sqrt{1-{\left(\frac{54}{d}\right)}^2}$.

Xem thêm các bài giải SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Bài 1: Góc lượng giác

Bài 3: Các công thức lượng giác

Bài 4: Hàm số lượng giác và đồ thị giác

Bài 5: Phương trình lượng giác

Bài tập cuối chương 1