Giải SGK Toán 11 (Cánh diều) Bài 3: Hàm số mũ. Hàm số lôgarit

Giải Toán 11 Bài 3: Hàm số mũ. Hàm số lôgarit

Câu hỏi khởi động trang 39 Toán 11 Tập 2: Một doanh nghiệp gửi ngân hàng 1 tỉ đồng với kì hạn 1 năm, lãi suất 6,2%/năm. Giả sử trong suốt n năm (n ∈ ℕ*), doanh nghiệp đó không rút tiền ra và số tiền lãi sau mỗi năm sẽ được nhập vào vốn ban đầu. Biết rằng lãi suất không thay đổi trong thời gian này.

Mối liên hệ giữa số tiền doanh nghiệp đó có được (cả gốc và lãi) với số năm gửi ngân hàng gợi nên hàm số nào trong toán học?

Lời giải:

Sau bài học này, chúng ta sẽ giải quyết được câu hỏi trên như sau:

Số tiền doanh nghiệp đó có được (cả gốc và lãi) sau n năm là:

A = 1 000 000 000 . (1 + 6,2%)ⁿ.

Đây là một hàm số mũ.

Vậy số tiền doanh nghiệp đó có được (cả gốc và lãi) với số năm gửi ngân hàng gợi nên hàm số mũ trong toán học.

I. Hàm số mũ

Hoạt động 1 trang 39 Toán 11 Tập 2: Xét bài toán ở phần mở đầu.

a) Tính số tiền doanh nghiệp đó có được sau 1 năm, 2 năm, 3 năm;

b) Dự đoán công thức tính số tiền doanh nghiệp đó có được sau n năm.

Lời giải:

a) Số tiền doanh nghiệp đó có được:

⦁ Sau 1 năm là: 1 000 000 000 . (1 + 6,2%) = 1 062 000 000 đồng;

⦁ Sau 2 năm là: 1 062 000 000 . (1 + 6,2%) = 1 127 844 000 đồng;

⦁ Sau 3 năm là: 1 127 844 000 . (1 + 6,2%) = 1 197 770 328 đồng.

b) Dự đoán công thức tính số tiền doanh nghiệp đó có được sau n năm:

A = 1 000 000 000 . (1 + 6,2%)ⁿ.

Luyện tập 1 trang 39 Toán 11 Tập 2: Cho hai ví dụ về hàm số mũ.

Lời giải:

Hai ví dụ là: y = 3^x; y = 5^x+1.

Hoạt động 2 trang 39 Toán 11 Tập 2: Cho hàm số mũ y = 2^x.

a) Tìm giá trị y tương ứng với giá trị của x trong bảng sau:

b) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, hãy biểu diễn các điểm trong bảng giá trị ở câu a.

Bằng cách làm tương tự, lấy nhiều điểm (x; 2^x) với x ∈ ℝ và nối lại, ta được đồ thị hàm số y = 2^x (Hình 1).

c) Cho biết tọa độ giao điểm của đồ thị hàm số y = 2^x với trục tung và vị trí của đồ thị hàm số đó so với trục hoành.

d) Quan sát đồ thị hàm số y = 2^x, nêu nhận xét về:

• $\underset{x\to -\infty }{\text{lim}}{2}^x,\underset{x\to +\infty }{\text{lim}}{2}^x;$

• Sự biến thiên của hàm số y = 2^x và lập bảng biến thiên của hàm số đó.

Lời giải:

a) Xét hàm số y = 2^x.

Thay x = –1 vào hàm số trên ta được $y=2^{-1}=\frac{1}{2}.$

Tương tự, thay lần lượt các giá trị x = 0; x = 1; x = 2; x = 3 vào hàm số ta được bảng sau:

b) Các điểm$A\left(-1;\frac{1}{2}\right);B\left(0;1\right);C\left(1;2\right);D\left(2;4\right);E\left(3;8\right)$ được biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ Oxy như Hình 1.

Bằng cách làm tương tự, lấy nhiều điểm (x; 2^x) với x ∈ ℝ và nối lại, ta được đồ thị hàm số y = 2^x (Hình 1).

c) Giao điểm của đồ thị hàm số y = 2^x với trục tung là B(0; 1) và đồ thị hàm số đó nằm ở phía trên trục hoành, đi lên kể từ trái sang phải.

d) Từ đồ thị hàm số, ta thấy:

• $\underset{x\to -\infty }{\text{lim}}{2}^x=\mathrm{0,}\underset{x\to +\infty }{\text{lim}}{2}^x=+\infty .$

• Đồ thị hàm số y = 2^x đi lên kể từ trái sang phải nên hàm số y = 2^x đồng biến trên ℝ.

Bảng biến thiên của hàm số y = 2^x:

Hoạt động 3 trang 40 Toán 11 Tập 2: Cho hàm số mũ $y={\left(\frac{1}{2}\right)}^x.$

a) Tìm giá trị y tương ứng với giá trị của x trong bảng sau:

b) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, hãy biểu diễn các điểm (x; y) trong bảng giá trị ở câu a.

Bằng cách làm tương tự, lấy nhiều điểm $\left(x;{\left(\frac{1}{2}\right)}^x\right)$ với x ∈ ℝ và nối lại, ta được đồ thị hàm số $y={\left(\frac{1}{2}\right)}^x$ (Hình 2).

c) Cho biết tọa độ giao điểm của đồ thị hàm số $y={\left(\frac{1}{2}\right)}^x$ với trục tung và vị trí của đồ thị hàm số đó so với trục hoành.

d) Quan sát đồ thị hàm số $y={\left(\frac{1}{2}\right)}^x,$ nêu nhận xét về:

• $\underset{x\to -\infty }{\text{lim}}{\left(\frac{1}{2}\right)}^x,\underset{x\to +\infty }{\text{lim}}{\left(\frac{1}{2}\right)}^x;$

• Sự biến thiên của hàm số $y={\left(\frac{1}{2}\right)}^x$ và lập bảng biến thiên của hàm số đó.

Lời giải:

a) Xét hàm số $y={\left(\frac{1}{2}\right)}^x$

Thay x = –3 vào hàm số $y={\left(\frac{1}{2}\right)}^x$ ta được $y={\left(\frac{1}{2}\right)}^{-3}=\frac{1}{2^3}=\frac{1}{8}.$

Tương tự, ta thay lần lượt các giá trị x = –2; x = –1; x = 0; x = 1 vào hàm số $y={\left(\frac{1}{2}\right)}^x$ ta được bảng sau:

b) Các điểm $M\left(-3;8\right);N\left(-2;4\right);P\left(-1;2\right);Q\left(0;1\right);R\left(1;\frac{1}{2}\right)$ được biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ Oxy như Hình 2.

Bằng cách làm tương tự, lấy nhiều điểm $\left(x;{\left(\frac{1}{2}\right)}^x\right)$ với x ∈ ℝ và nối lại, ta được đồ thị hàm số $y={\left(\frac{1}{2}\right)}^x$ (Hình 2).

c) Tọa độ giao điểm của đồ thị hàm số $y={\left(\frac{1}{2}\right)}^x$ với trục tung là Q(0; 1) và đồ thị hàm số $y={\left(\frac{1}{2}\right)}^x$ nằm ở phía trên trục hoành, đi xuống kể từ trái sang phải.

d) Từ đồ thị hàm số, ta thấy:

• $\underset{x\to -\infty }{\text{lim}}{\left(\frac{1}{2}\right)}^x=+\infty ,\underset{x\to +\infty }{\text{lim}}{\left(\frac{1}{2}\right)}^x=0;$

• Đồ thị hàm số $y={\left(\frac{1}{2}\right)}^x$ đi xuống kể từ trái sang phải nên hàm số $y={\left(\frac{1}{2}\right)}^x$ nghịch biến trên ℝ.

Bảng biến thiên của hàm số $y={\left(\frac{1}{2}\right)}^x:$

Luyện tập 2 trang 42 Toán 11 Tập 2: Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị hàm số $y={\left(\frac{1}{3}\right)}^x.$

Lời giải:

Vì hàm số $y={\left(\frac{1}{3}\right)}^x$ có cơ số $\frac{1}{3}<1$ nên ta có bảng biến thiên như sau

Đồ thị của hàm số $y={\left(\frac{1}{3}\right)}^x$ là một đường cong liền nét đi qua các điểm $A\left(-2;9\right);B\left(-1;3\right);C\left(0;1\right);D\left(1;\frac{1}{3}\right)$ như hình vẽ:

II. Hàm số Lôgarit

Hoạt động 4 trang 43 Toán 11 Tập 2: Tìm giá trị y tương ứng với giá trị x trong bảng sau:

Lời giải:

Thay x = 1 vào hàm số y = log₃x ta được y = log₃1 = 0.

Tương tự, thay lần lượt các giá trị x = 1; x = 3; x = 9; x = 27 vào hàm số y = log₃x ta được bảng sau:

Luyện tập 3 trang 43 Toán 11 Tập 2: Cho hai ví dụ về hàm số lôgarit.

Lời giải:

Hai ví về hàm số lôgarit: log₃x và log₇(x + 2).

Hoạt động 5 trang 43 Toán 11 Tập 2: Cho hàm số lôgarit y = log₂x.

a) Tìm giá trị y tương ứng với giá trị x trong bảng sau:

b) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, biểu diễn điểm (x; y) trong bảng giá trị ở câu a. Bằng cách làm tương tự, lấy nhiều điểm (x; log₂x) với x ∈ (0; +∞) và nối lại, ta được đồ thị hàm số y = log₂x (Hình 6).

c)Cho biết tọa độ giao điểm đồ thị hàm số y = log₂x với trục hoành và vị trí của đồ thị hàm số đó so với trục tung.

d)Quan sát đồ thị hàm số y = log₂x, nêu nhận xét về:

• $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }{\log }_{2}x,\underset{x\to +\infty }{\lim }{\log }_{2}x;$

• Sự biến thiên của hàm số y = log₂x và lập bảng biến thiên của hàm số đó.

Lời giải:

a) Xét hàm số y = log₂x.

Thay x = 0,5 vào hàm số y = log₂x ta được y = log₂0,5 = y = log₂2⁻¹ = –1.

Tương tự, thay lần lượt các giá trị x = 1; x = 2; x = 4; x = 8 vào hàm số y = log₂x, ta được bảng sau:

b) Các điểm A(0,5; –1), B(1; 0), C(2; 1); D(4; 2) và E(8; 3) được biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ Oxy như Hình 6.

Bằng cách làm tương tự, lấy nhiều điểm (x; log₂x) với x ∈ (0; +∞) và nối lại, ta được đồ thị hàm số y = log₂x (Hình 6).

c) Giao điểm đồ thị hàm số y = log₂x với trục hoànhlà B(1; 0) và đồ thị hàm số y = log₂xnằm ở phía biên phải trục tung, đi lên kể từ trái sang phải.

d) Từ đồ thị ta thấy:

• $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }{\log }_{2}x=-\infty ,\underset{x\to +\infty }{\lim }{\log }_{2}x=+\infty$

• Đồ thị hàm số y = log₂xđi lên kể từ trái sang phải (với x ∈ (0; +∞)) nên hàm số y = log₂xđồng biến trên (0; +∞).

Bảng biến thiên của hàm số đó:

Hoạt động 6 trang 44 Toán 11 Tập 2: Cho hàm số lôgarit $y={\log }_{\frac{1}{2}}x$

a) Tìm giá trị y tương ứng với giá trị x trong bảng sau:

b) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, hãy biểu diễn điểm (x; y) trong bảng giá trị ở câu a.

Bằng cách làm tương tự, lấy nhiều điểm $\left(x;{\log }_{\frac{1}{2}}x\right)$ với x ∈ (0; +∞) và nối lại, ta được đồ thị hàm số $y={\log }_{\frac{1}{2}}x$ (Hình 7).

c)Cho biết tọa độ giao điểm đồ thị hàm số $y={\log }_{\frac{1}{2}}x$ với trục hoành và vị trí của đồ thị hàm số đó so với trục tung.

d)Quan sát đồ thị hàm số $y={\log }_{\frac{1}{2}}x,$ nêu nhận xét về:

• $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }{\log }_{\frac{1}{2}}x,\underset{x\to +\infty }{\lim }{\log }_{\frac{1}{2}}x;$

• Sự biến thiên của hàm số $y={\log }_{\frac{1}{2}}x$ và lập bảng biến thiên của hàm số đó.

Lời giải:

a) Xét hàm số $y={\log }_{\frac{1}{2}}x.$

Thay x = 0,5 vào hàm số $y={\log }_{\frac{1}{2}}x$ ta được $y={\log }_{\frac{1}{2}}\mathrm{0,5}=1.$

Thay lần lượt các giá trị x = 1; x = 2; x = 4; x = 8 vào hàm số $y={\log }_{\frac{1}{2}}x$ ta được bảng sau:

b) Các điểm M(0,5; 1), N(1; 0), P(2; –1), Q(4; –2) và R(8; –3) được biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ Oxy như Hình 7.

Bằng cách làm tương tự, lấy nhiều điểm $\left(x;{\log }_{\frac{1}{2}}x\right)$ với x ∈ (0; +∞) và nối lại, ta được đồ thị hàm số $y={\log }_{\frac{1}{2}}x$ (Hình 7).

c) Giao điểm đồ thị hàm số $y={\log }_{\frac{1}{2}}x$ với trục hoành là N(1; 0) và đồ thị hàm số $y={\log }_{\frac{1}{2}}x$nằm ở phía bên phải trục tung, đi xuống kể từ trái sang phải.

d) Từ đồ thị hàm số, ta thấy:

• $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }{\log }_{\frac{1}{2}}x=+\infty ,\underset{x\to +\infty }{\lim }{\log }_{\frac{1}{2}}x=-\infty ;$

• Đồ thị hàm số $y={\log }_{\frac{1}{2}}x$ đi xuống kể từ trái sang phải nên hàm số $y={\log }_{\frac{1}{2}}x$ nghịch biến trên (0; +∞).

Bảng biến thiên của hàm số đó:

Luyện tập 4 trang 46 Toán 11 Tập 2: Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị hàm số $y={\text{log}}_{\frac{1}{3}}x.$

Lời giải:

Vì hàm số $y={\text{log}}_{\frac{1}{3}}x$ có cơ số $\frac{1}{3}<1$ nên ta có bảng biến thiên như sau:

Đồ thị của hàm số là một đường cong liền nét đi qua các điểm $A\left(\frac{1}{3};1\right),B\left(1;0\right),C\left(3;-1\right),D\left(9;-2\right)$ như hình vẽ:

Bài tập

Bài 1 trang 47 Toán 11 Tập 2: Tìm tập xác định của các hàm số:

a) y = 12^x;

b) y = log₅(2x – 3);

c) $y={\text{log}}_{\frac{1}{5}}\left(-x^2+4\right)$ .

Lời giải:

a) Hàm số y = 12^x xác định với mọi x nên tập xác định D = ℝ.

b) Hàm số y = log₅(2x – 3) xác định khi 2x – 3 > 0 hay $x>\frac{3}{2}$

Vậy tập xác định của hàm số trên là $D=\left(\frac{3}{2};+\infty \right)$ .

c) Hàm số $y={\text{log}}_{\frac{1}{5}}\left(-x^2+4\right)$ xác định khi –x² + 4 > 0, hay x² < 4 nên –2 < x < 2

Vậy tập xác định của hàm số trên là D = (–2; 2).

Bài 2 trang 47 Toán 11 Tập 2: Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến, hàm số nào nghịch biến trên khoảng xác định của hàm số đó? Vì sao?

a) $y={\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^x;$ b) $y={\left(\frac{\sqrt[3]{26}}{3}\right)}^x;$

c) y = log_πx; d) $y={\text{log}}_{\frac{\sqrt{15}}{4}}x.$

Lời giải:

a) Hàm số $y={\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^x$ có tập xác định D = ℝ.

Do $0<\frac{\sqrt{3}}{2}<1$ nên hàm số $y={\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^x$ nghịch biến ℝ.

b) Hàm số $y={\left(\frac{\sqrt[3]{26}}{3}\right)}^x$ có tập xác định D = ℝ.

Do $0<\frac{\sqrt[3]{26}}{3}<1$ nên hàm số $y={\left(\frac{\sqrt[3]{26}}{3}\right)}^x$ nghịch biến trên ℝ.

c) Hàm số y = log_πx có tập xác định là D = (0; +∞).

Do π > 1nên hàm số y = log_πx đồng biến trên (0; +∞).

d) Hàm số $y={\text{log}}_{\frac{\sqrt{15}}{4}}x$ có tập xác định là D = (0; +∞).

Do $0<\frac{\sqrt{15}}{4}<1$ nên hàm số $y={\text{log}}_{\frac{\sqrt{15}}{4}}x$ nghịch biến trên (0; +∞).

Bài 3 trang 47 Toán 11 Tập 2: Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị hàm số:

a) y = 4^x;b) $y={\text{log}}_{\frac{1}{4}}x$ .

Lời giải:

a) Vì hàm số y = 4^x có cơ số 4 > 1 nên ta có bảng biến thiên như sau:

Đồ thị hàm số y = 4^x là đường thẳng đi qua các điểm $A\left(-1;\frac{1}{4}\right),B\left(0;1\right),$ $C\left(\frac{1}{2};2\right),D\left(1;4\right),E\left(\frac{3}{2};8\right)$ như hình vẽ:

b) Vì hàm số $y={\text{log}}_{\frac{1}{4}}x$ có cơ số $\frac{1}{4}<1$ nên ta có bảng biến thiên như sau:

Đồ thị hàm số $y={\text{log}}_{\frac{1}{4}}x$ là đường thẳng đi qua các điểm $M\left(\frac{1}{4};1\right),N\left(1;0\right),$ $P\left(2;\frac{-1}{2}\right),$ $Q\left(4;-1\right),R\left(8;-\frac{3}{2}\right)$ như hình vẽ:

Bài 4 trang 47 Toán 11 Tập 2: Ta coi năm lấy làm mốc để tính dân số của một vùng (hoặc một quốc gia) là năm 0. Khi đó, dân số của quốc gia đó ở năm thứ t là hàm số theo biến t được cho bởi công thức: S = A.e^rt, trong đó A là dân số của vùng (hoặc quốc gia) đó ở năm 0 và r là tỉ lệ tăng dân số hằng năm (Nguồn: Giải tích 12, NXBGD Việt Nam, 2021). Biết rằng dân số Việt Nam năm 2021 ước tính là 98 564 407 người và tỉ lệ tăng dân số 0,93%/năm (Nguồn: https://danso.org/viet–nam. Giả sử tỉ lệ tăng dân số hằng năm là như nhau tính từ năm 2021, nêu dự đoán dân số Việt Nam năm 2030 (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Lời giải:

Ta có: S = A . e^rt

Trong đó:

⦁S là dân số của Việt Nam năm 2030 (cần dự đoán);

⦁A là dân số của Việt Nam năm 2021, A = 98564407 người;

⦁r là tỉ lệ tăng dân số hàng năm, r = 0,93%;

⦁t là số năm từ năm 2021 đến năm 2030, tức là t = 2030 – 2021 = 9 năm.

Thay các giá trị vào công thức, ta có:

S = 98 564 407 . e^0,93%.9 = 98 564 407 . e^0,0837 ≈ 107 169 341 (người).

Vậy dự đoán dân số Việt Nam năm 2030 là khoảng 107 169 341 người.

Bài 5 trang 47 Toán 11 Tập 2: Các nhà tâm lí học sử dụng mô hình hàm số mũ để mô phỏng quá trình học tập của một học sinh như sau: f(t) = c(1 – e^–kt), trong đó c là tổng số đơn vị kiến thức học sinh phải học, k (kiến thức/ngày) là tốc độ tiếp thu của học sinh, t (ngày) là thời gian học và f(t) là số đơn vị kiến thức học sinh đã học được (Nguồn: R.I. Charles et al., Algebra 2, Pearson). Giả sử một em học sinh phải tiếp thu 25 đơn vị kiến thức mới. Biết rằng tốc độ tiếp thu của em học sinh là k = 0,2. Hỏi em học sinh sẽ học được (khoảng) bao nhiêu đơn vị kiến thức mới sau 2 ngày? Sau 8 ngày? (Làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Lời giải:

Để tính số đơn vị kiến thức học sinh đã học được sau một số ngày nhất định, ta chỉ cần thay giá trị của t vào công thức f(t) = c(1 – e^–kt) với c = 25 và k = 0,2.

Lúc này ta có f(t) = 25(1 – e^−0,2t).

⦁Số đơn vị kiến thức học sinh đã học được sau 2 ngày:

Thay t = 2 vào công thức f(t) = 25(1 – e^−0,2t) ta có:

f(2) = 25(1 – e^–0,2.2) ≈ 8 (đơn vị kiến thức).

⦁Số đơn vị kiến thức học sinh đã học được sau 8 ngày:

Thay t = 8 vào công thức f(t) = 25(1 – e^−0,2t) ta có:

f(8) = 25(1 – e^–0,2.8) ≈ 20 (đơn vị kiến thức).

Bài 6 trang 47 Toán 11 Tập 2: Chỉ số hay độ pH của một dung dịch được tính theo công thức: pH = – log[H⁺]. Phân tích nồng độ ion hydrogen [H⁺] trong hai mẫu nước sông, ta có kết quả sau:

Mẫu 1: [H⁺] = 8 . 10^–7; Mẫu 2: [H⁺] = 2 . 10^–9.

Không dùng máy tính cầm tay, hãy so sánh độ pH của hai mẫu nước trên.

Lời giải:

Mẫu 1:

pH = – log[H⁺] = –log(8 . 10^–7) = – (log8 + log10^–7)

= – log8 – log10^–7= – log8 + 7log10

= – log2³ + 7 = – 3log2 + 7.

Mẫu 2:

pH = – log[H⁺] = –log(2 . 10^–9) = – (log2 – log10^–9)

= – log2 – log10^–9= – log2 + 9log10

= – log2 + 9.

Vì 3log2 > log2 nên – 3log2 < – log2

Suy ra – 3log2 + 7 < – log2 + 7

Hay – 3log2 + 7 < – log2 + 9

Do đó độ pH của mẫu 1nhỏ hơn độ pH của mẫu 2.

Bài 7 trang 47 Toán 11 Tập 2: Cô Yên gửi 10 triệu đồng vào ngân hàng theo hình thức lãi kép có kì hạn là 12 tháng với lãi suất 6% /năm. Giả sử qua các năm thì lãi suất không thay đổi và cô Yên không gửi thêm tiền vào mỗi năm. Để biết sau y (năm) thì tổng số tiền cả vốn và lãi có được là x (đồng), cô Yên sử dụng công thức $y={\text{log}}_{\mathrm{1,06}}\left(\frac{x}{10}\right)$ . Hỏi sau ít nhất bao nhiêu năm thì cô Yên có thể rút ra số tiền 15 triệu đồng từ tài khoản tiết kiện đó (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Lời giải:

Để cô Yên có thể rút ra số tiền 15 triệu đồng từ tài khoản tiết kiện đó thì x = 15.

Khi đó ta có $y={\text{log}}_{\mathrm{1,06}}\left(\frac{x}{10}\right)={\log }_{\mathrm{1,06}}\frac{15}{10}\approx 7$

Vậy sau ít nhất 7 năm thì cô Yên có thể rút ra được số tiền 15 triệu đồng từ tài khoản tiết kiệm đó.

Xem thêm các bài giải SGK Toán lớp 11 Cánh diều hay, chi tiết khác: