Giải SGK Toán 11 (Cánh diều) Bài 1: Phép tính lũy thừa với số mũ thực

Giải Toán 11 Bài 1: Phép tính lũy thừa với số mũ thực

Câu hỏi khởi động trang 27 Toán 11 Tập 2: Ở các lớp dưới, ta đã làm quen với phép tính lũy thừa với số mũ tự nhiên của một số thực và các tính chất của phép tính lũy thừa đó. Những khái niệm lũy thừa với số mũ nguyên, số mũ hữu tỉ và số mũ thực của một số thực được xây dựng như thế nào? Những phép lũy thừa đó có tính chất gì?

Lời giải:

– Những khái niệm lũy thừa với số mũ nguyên, số mũ hữu tỉ và số mũ thực của một số thực được xây dựng dựa trên lũy thừa bậc n của a, kí hiệu là aⁿ, là tích của n thừa số a:

aⁿ = a.a.a...a (n thừa số a) với n là số nguyên dương.

Số a được gọi là cơ số, n được gọi là số mũ.

– Tính chất của lũy thừa mà ta đã học ở các lớp dưới:

⦁ a^m . aⁿ = a^m+n;

⦁ $\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n};$

⦁ ${\left(a^m\right)}^n=a^{m.n};$

⦁ (a . b)^m = a^m . b^m;

⦁ ${\left(\frac{a}{b}\right)}^m=\frac{a^m}{b^m};$

⦁ Với a > 1 thì a^m > aⁿ ⇔ m > n;

⦁Với 0 < a < 1 thì a^m > aⁿ ⇔ m < n.

I. Phép tính lũy thừa với số mũ hữu tỷ

Hoạt động 1 trang 27 Toán 11 Tập 2: a) Cho n là một số nguyên dương. Với a là số thực tùy ý, nêu định nghĩa lũy thừa bậc n của a.

b) Với a là số thực tùy ý khác 0, nêu quy ước xác định lũy thừa bậc 0 của a.

Lời giải:

a) Lũy thừa bậc n của a, kí hiệu là aⁿ, là tích của n thừa số a: aⁿ = a.a.a...a (n thừa số a) với n là số nguyên dương.

Số a được gọi là cơ số, n được gọi là số mũ.

b) Quy ước xác định lũy thừa bậc 0 của a (với a khác 0) là: a⁰ =1.

Luyện tập 1 trang 28 Toán 11 Tập 2: Tính giá trị của biểu thức: $M={\left(\frac{1}{3}\right)}^{12}\cdot {\left(\frac{1}{27}\right)}^{-5}+{\left(\mathrm{0,4}\right)}^{-4}\cdot {25}^{-2}\cdot {\left(\frac{1}{32}\right)}^{-1}.$

Lời giải:

Ta có:

$M={\left(\frac{1}{3}\right)}^{12}\cdot {\left(\frac{1}{27}\right)}^{-5}+{\left(\mathrm{0,4}\right)}^{-4}\cdot {25}^{-2}\cdot {\left(\frac{1}{32}\right)}^{-1}.$

$={\left(\frac{1}{3}\right)}^{12}\cdot {27}^5+{\left(\frac{2}{5}\right)}^{-4}\cdot \frac{1}{{25}^2}\cdot {32}^1$

$=\frac{1}{3^{12}}\cdot {\left(3^3\right)}^5+{\left(\frac{5}{2}\right)}^4\cdot \frac{1}{{\left(5^2\right)}^2}\cdot 2^5$

$=\frac{1}{3^{12}}\cdot 3^{15}+\frac{5^4}{2^4}\cdot \frac{1}{5^4}\cdot 2^5$

$=3^3+2=27+2=29.$

Hoạt động 2 trang 28 Toán 11 Tập 2: a) Với a là số thực không ân, nêu định nghĩa căn bậc hai của a.

b) Với a là số thực tùy ý, nêu định nghĩa căn bậc ba của a.

Lời giải:

a) Căn bậc hai của một số thực a không âm, kí hiệu là $\sqrt{a}$ là số x sao cho x² = a.

b) Căn bậc ba của một số a tùy ý, kí hiệu là $\sqrt[3]{a}$ là số x sao cho x³ = a.

Luyện tập 2 trang 28 Toán 11 Tập 2: Các số 2 và –2 có phải là căn bậc 6 của 64 hay không?

Lời giải:

Ta thấy: 2⁶ = 64 và (–2)⁶ = 64

Do đó, 2 và –2 là căn bậc 6 của 64.

Hoạt động 3 trang 29 Toán 11 Tập 2: a) Với mỗi số thực a, so sánh: $\sqrt{a^2}$ và |a|; $\sqrt[3]{a^3}$ và a.

b) Cho a, b là hai số thực dương. So sánh $\sqrt{a\cdot b}$ và $\sqrt{a}\cdot \sqrt{b}.$

Lời giải:

a) ⦁Ta có: , với mọi số thực a

Do đó $\sqrt{a^2}$ = |a|

⦁Ta có: ${\left(\sqrt[3]{a^3}\right)}^3=a^3;{\left(a\right)}^3=a^3,$ với mọi số thực a

Do đó $\sqrt[3]{a^3}=a.$

b) Với a, b là hai số thực dương, ta có: ${\left(\sqrt{a\cdot b}\right)}^2=ab;{\left(\sqrt{a}\cdot \sqrt{b}\right)}^2=ab$

Do đó $\sqrt{a\cdot b}=\sqrt{a}\cdot \sqrt{b}.$

Luyện tập 3 trang 29 Toán 11 Tập 2: Rút gọn mỗi biểu thức sau:

a) $\sqrt[3]{\frac{125}{64}}.\sqrt[4]{81};$ b) $\frac{\sqrt[5]{98}.\sqrt[5]{343}}{\sqrt[5]{64}}.$

Lời giải:

a) $\sqrt[3]{\frac{125}{64}}\cdot \sqrt[4]{81}=\sqrt[3]{{\left(\frac{5}{4}\right)}^3}\cdot \sqrt[4]{3^4}=\frac{5}{4}\cdot 3=\frac{15}{4};$

b) $\frac{\sqrt[5]{98}\cdot \sqrt[5]{343}}{\sqrt[5]{64}}=\sqrt[5]{\frac{98\cdot 343}{64}}=\sqrt[5]{\frac{2\cdot 7^2\cdot 7^3}{2^6}}$$=\sqrt[5]{\frac{7^5}{2^5}}=\sqrt[5]{{\left(\frac{7}{2}\right)}^5}=\frac{7}{2}.$

Hoạt động 4 trang 29 Toán 11 Tập 2: Thực hiện các hoạt động sau:

a) So sánh  và 2²; b) So sánh  và $\sqrt[3]{2^6}.$

Lời giải:

a)Ta có:  = 2^2;

b) Ta có: $\sqrt[3]{2^6}=\sqrt[3]{{\left(2^2\right)}^3}=2^2$

Mà  = 2² nên $=\sqrt[3]{2^6}.$

Luyện tập 4 trang 30 Toán 11 Tập 2: Rút gọn mỗi biểu thức: $N=\frac{x^{\frac{4}{3}}y+x{y}^{\frac{4}{3}}}{\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}}\left(x>\mathrm{0,}y>0\right).$

Lời giải:

Với x > 0 và y > 0, ta có:

$N=\frac{x^{\frac{4}{3}}y+x{y}^{\frac{4}{3}}}{\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}}=\frac{\sqrt[3]{x^4}y+x\sqrt[3]{y^4}}{\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}}$

$=\frac{\sqrt[3]{x^3}\cdot \sqrt[3]{x}\cdot y+x\cdot \sqrt[3]{y^3}\cdot \sqrt[3]{y}}{\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}}$

$=\frac{\sqrt[3]{x^3}\cdot x\cdot y+x\cdot y\cdot \sqrt[3]{y}}{\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}}$

$=\frac{xy\left(\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}\right)}{\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}}=xy.$

II. Phép tính lũy thừa với số mũ thực

Hoạt động 5 trang 30 Toán 11 Tập 2: Xét số vô tỉ $\sqrt{2}=\mathrm{1,414213562...}$

Xét dãy số hữu tỉ r₁ = 1; r₂ = 1,4; r₃ = 1,41; r₄ = 1,414; r₅ = 1,4142; r₆ = 1,41421; ...và $\lim r_n=\sqrt{2}.$ Bằng cách tính tương ứng, ta nhận được Bảng 1 ghi các dãy số (r_n) và $\left(3^{r_n}\right)$ với n = 1, 2, ..., 6. Người ta chứng minh được rằng khi n → +∞ thì dãy số $\left(3^{r_n}\right)$ dần đến một giới hạn mà ta gọi là $3^{\sqrt{2}}.$

Nêu dự đoán về giá trị của số $3^{\sqrt{2}}$ (đến hàng phần trăm).

Lời giải:

Từ Bảng 1 ta thấy:

⦁r₁ = 1 thì $3^{r_1}=3;$

⦁r₂ = 1,4 thì $3^{r_2}=\mathrm{4,655536722...}\approx \mathrm{4,66};$

...

⦁r₆ = 1,41421 thì $3^{r_6}=\mathrm{4,728785881...}\approx \mathrm{4,73};$

…

Dự đoán: $3^{\sqrt{2}}\approx \mathrm{4,73.}$

Luyện tập 5 trang 31 Toán 11 Tập 2: So sánh ${10}^{\sqrt{2}}$ và 10.

Lời giải:

Vì ${10}^{\sqrt{2}}\approx \mathrm{25,95}>10$ nên ${10}^{\sqrt{2}}>10.$

Hoạt động 6 trang 31 Toán 11 Tập 2: Nêu những tính chất của phép tính lũy thừa với số mũ nguyên của một số thực dương.

Lời giải:

Tính chất của phép tính lũy thừa với số mũ nguyên của một số thực dương:

⦁ a^m . aⁿ = a^m+n;

⦁ $\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n};$

⦁ ${\left(a^m\right)}^n=a^{m\cdot n};$

⦁ (a . b)^m = a^m . b^m;

⦁ ${\left(\frac{a}{b}\right)}^m=\frac{a^m}{b^m};$

⦁ Với a > 1 thì a^m > aⁿ ⇔ m > n;

⦁Với 0 < a < 1 thì a^m > aⁿ ⇔ m < n.

Luyện tập 6 trang 32 Toán 11 Tập 2: Không sử dụng máy tính cầm tay, hãy so sánh các số $2^{2\sqrt{3}}$ và $2^{3\sqrt{2}}.$

Lời giải:

Ta có: ${\left(2\sqrt{3}\right)}^2=12;{\left(3\sqrt{2}\right)}^2=18$

Vì 12 < 18, nên $2\sqrt{3}<3\sqrt{2}$

Do cơ số 2 lớn hơn 1 nên $2^{2\sqrt{3}}<2^{3\sqrt{2}}.$

Luyện tập 7 trang 32 Toán 11 Tập 2: Dùng máy tính cầm tay để tính (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm):

a) ${\left(-\mathrm{2,7}\right)}^{-4};$ b) ${\left(\sqrt{3}-1\right)}^{\sqrt[3]{4}+1}.$

Lời giải:

a) ${\left(-\mathrm{2,7}\right)}^{-4}\approx \mathrm{0,02};$

b) ${\left(\sqrt{3}-1\right)}^{\sqrt[3]{4}+1}\approx \mathrm{0,45.}$

Bài tập

Bài 1 trang 33 Toán 11 Tập 2: Tính:

a) ${\left(\frac{1}{256}\right)}^{-\mathrm{0,75}}+{\left(\frac{1}{27}\right)}^{-\frac{4}{3}};$

b) ${\left(\frac{1}{49}\right)}^{-\mathrm{1,5}}-{\left(\frac{1}{125}\right)}^{-\frac{2}{3}};$

c) $\left(4^{3+\sqrt{3}}-4^{\sqrt{3}-1}\right)\cdot 2^{-2\sqrt{3}}.$

Lời giải:

Ta có:

a) ${\left(\frac{1}{256}\right)}^{-\mathrm{0,75}}+{\left(\frac{1}{27}\right)}^{-\frac{4}{3}}={\left(\frac{1}{256}\right)}^{-\frac{3}{4}}+{\left(\frac{1}{27}\right)}^{-\frac{4}{3}}$

$={256}^{\frac{3}{4}}+{27}^{\frac{4}{3}}=\sqrt[4]{{256}^3}+\sqrt[3]{{27}^4}$

$=\sqrt[4]{{\left(2^8\right)}^3}+\sqrt[3]{{\left(3^3\right)}^4}=\sqrt[4]{2^{24}}+\sqrt[3]{3^{12}}$

$=\sqrt[4]{{\left(2^6\right)}^4}+\sqrt[3]{{\left(3^4\right)}^3}=2^6+3^4=64+81=145.$

b) ${\left(\frac{1}{49}\right)}^{-\mathrm{1,5}}-{\left(\frac{1}{256}\right)}^{-\frac{2}{3}}={\left(\frac{1}{49}\right)}^{-\frac{3}{2}}-{\left(\frac{1}{256}\right)}^{-\frac{2}{3}}$

$={49}^{\frac{3}{2}}-{256}^{\frac{2}{3}}=\sqrt{{49}^3}-\sqrt[3]{{256}^2}$

$=\sqrt{{\left(7^2\right)}^3}-\sqrt[3]{{\left(2^8\right)}^2}=\sqrt{7^6}-\sqrt[3]{2^{16}}$

$=\sqrt{{\left(7^3\right)}^2}-\sqrt[3]{2\cdot 2^{15}}=7^3-\sqrt[3]{2}\cdot \sqrt[3]{{\left(2^5\right)}^3}$

$=7^3-\sqrt[3]{2}\cdot 2^5=7^3-32\sqrt[3]{2}.$

c) 

$$\begin{gathered} =\left(2^{6+2\sqrt{3}}-2^{2\sqrt{3}-2}\right)\cdot 2^{-2\sqrt{3}} \\ =2^{6+2\sqrt{3}-2\sqrt{3}}-2^{2\sqrt{3}-2-2\sqrt{3}} \end{gathered}$$

$=2^6-2^{-2}=64-\frac{1}{2^2}=64-\frac{1}{4}=\frac{255}{4}.$

Bài 2 trang 33 Toán 11 Tập 2: Cho a, b là những số thực dương. Viết các biểu thức sau dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ:

a) $a^{\frac{1}{3}}\cdot \sqrt{a};$ b) $b^{\frac{1}{2}}\cdot b^{\frac{1}{3}}\cdot \sqrt[6]{b};$ c) $a^{\frac{4}{3}}:\sqrt[3]{a};$ d) $\sqrt[3]{b}:b^{\frac{1}{6}}.$

Lời giải:

a) $a^{\frac{1}{3}}\cdot \sqrt{a}=a^{\frac{1}{3}}.a^{\frac{1}{2}}=a^{\frac{1}{3}+\frac{1}{2}}=a^{\frac{5}{6}}=\sqrt[6]{a^5};$

b) $b^{\frac{1}{2}}\cdot b^{\frac{1}{3}}\cdot \sqrt[6]{b}=b^{\frac{1}{2}}\cdot b^{\frac{1}{3}}\cdot b^{\frac{1}{6}}=b^{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}}=b^1;$

c) $a^{\frac{4}{3}}:\sqrt[3]{a}=a^{\frac{4}{3}}:a^{\frac{1}{3}}=a^{\frac{4}{3}-\frac{1}{3}}=a^1;$

d) $\sqrt[3]{b}:b^{\frac{1}{6}}=b^{\frac{1}{3}}:b^{\frac{1}{6}}=b^{\frac{1}{3}-\frac{1}{6}}=b^{\frac{1}{6}}=\sqrt[6]{b}.$

Bài 3 trang 33 Toán 11 Tập 2: Rút gọn mỗi biểu thức sau:

a) $\frac{a^{\frac{7}{3}}-a^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{4}{3}}-a^{\frac{1}{3}}}\left(a>0;a\ne 1\right);$ b) $\sqrt[3]{\sqrt{a^{12}{b}^6}}\left(a>\mathrm{0,}b>0\right).$

Lời giải:

Ta có:

a) $\frac{a^{\frac{7}{3}}-a^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{4}{3}}-a^{\frac{1}{3}}}=\frac{a^{\frac{1}{3}}\left(a^2-1\right)}{a^{\frac{1}{3}}\left(a-1\right)}=\frac{\left(a-1\right)\left(a+1\right)}{a-1}=a+1;$

b) $\sqrt[3]{\sqrt{a^{12}{b}^6}}=\sqrt[3]{{\left(a^{12}{b}^6\right)}^{\frac{1}{2}}}={\left(a^{12}{b}^6\right)}^{\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3}}$$={\left(a^{12}{b}^6\right)}^{\frac{1}{6}}=a^{2}b.$

Bài 4 trang 33 Toán 11 Tập 2: Viết các số sau theo thứ tự tăng dần:

a) $1^{\mathrm{1,5}};3^{-1};{\left(\frac{1}{2}\right)}^{-2};$ b) ${2022}^0;{\left(\frac{4}{5}\right)}^{-1};5^{\frac{1}{2}}.$

Lời giải:

a) Ta có: $1^{\mathrm{1,5}}=1^{\frac{3}{2}}=\sqrt{1^3}=1;3^{-1}=\frac{1}{3};{\left(\frac{1}{2}\right)}^{-2}=2^2=4$

Vì $\frac{1}{3}<1<4$ nên $3^{-1}<1^{\mathrm{1,5}}<{\left(\frac{1}{2}\right)}^{-2}.$

b) Ta có: ${2022}^0=1;{\left(\frac{4}{5}\right)}^{-1}=\frac{5}{4};5^{\frac{1}{2}}=\sqrt{5}>\sqrt{4}=2$

Vì $1<\frac{5}{4}<2<\sqrt{5}$ nên ${2022}^0<{\left(\frac{4}{5}\right)}^{-1}<5^{\frac{1}{2}}.$

Bài 5 trang 33 Toán 11 Tập 2: Không sử dụng máy tính cầm tay, hãy so sánh các số sau:

a) $6^{\sqrt{3}}$ và 36; b) ${\left(\mathrm{0,2}\right)}^{\sqrt{3}}$ và ${\left(\mathrm{0,2}\right)}^{\sqrt{5}}.$

Lời giải:

a) Ta có 3 < 4 nên $\sqrt{3}<\sqrt{4}=2$

Vì cơ số 6 lớn hơn 1 nên $6^{\sqrt{3}}$ do đó $6^{\sqrt{3}}<36.$

b) Ta có: 3 < 5 nên $\sqrt{3}<\sqrt{5}$

Vì cơ số 0,2 thỏa mãn 0 < 0,2 < 1 nên ${\left(\mathrm{0,2}\right)}^{\sqrt{3}}>{\left(\mathrm{0,2}\right)}^{\sqrt{5}}.$

Bài 6 trang 33 Toán 11 Tập 2: Định luật thứ ba của Kepler về quỹ đạo chuyển động cho biết cách ước tính khoảng thời gian P (tính theo năm Trái Đất) mà một hành tinh cần để hoàn thành một quỹ đạo quay quanh Mặt Trời. Khoảng thời gian đó được xác định bởi hàm số $P=d^{\frac{3}{2}},$ trong đó d là khoảng cách từ hành tinh đó đến Mặt Trời tính theo đơn vị thiên văn AU (1 AU là khoảng cách từ Trái Đất đến Mặt Trời, tức là 1 AU khoảng 93 000 000 dặm) (Nguồn: R.I. Charles et al., Algebra 2, Pearson). Hỏi Sao Hỏa quay quanh Mặt Trời thì mất bao nhiêu năm Trái Đất (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)? Biết khoảng cách từ Sao Hỏa đến Mặt Trời là 1,52 AU.

Lời giải:

Sao Hỏa quay quanh Mặt Trời thì mất số năm Trái Đất là:

$P=d^{\frac{3}{2}}={\mathrm{1,52}}^{\frac{3}{2}}\approx \mathrm{1,87}\left(AU\right)$.

Xem thêm các bài giải SGK Toán lớp 11 Cánh diều hay, chi tiết khác: