Giải SGK Toán 11 (Chân trời sáng tạo) Bài 4: Hàm số lượng giác và đồ thị

1900.edu.vn xin giới thiệu giải bài tập Toán lớp 11 Bài 4: Hàm số lượng giác và đồ thị giác sách Chân trời sáng tạo hay nhất, chi tiết giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán 11 Bài 4. Mời các bạn đón xem:

Giải Toán 11 Bài 4: Hàm số lượng giác và đồ thị giác

Hoạt động khởi động trang 25 Toán 11 Tập 1: Vì sao mặt cắt của sóng nước trên mặt hồ được gọi là có dạng hình sin?

Hoạt động khởi động trang 25 Toán 11 Tập 1 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 11

Lời giải:

Sau khi học xong bài học này, chúng ta sẽ nhận biết được đồ thị hình sin và hình ảnh mặt cắt của sóng nước trên mặt hồ chính là một ví dụ điển hình.

1. Hàm số lượng giác

Hoạt động khám phá 1 trang 25 Toán 11 Tập 1: Cho số thực t và M là điểm biểu diễn của góc lượng giác có số đo t rad trên đường tròn lượng giác, hãy giải thích vì sao xác định duy nhất:

a) Giá trị sint và cost;

b) Giá trị tant (nếu tπ2+kπ,k) và cost (nếu tkπ,k).

Lời giải:

Hoạt động khám phá 1 trang 25 Toán 11 Tập 1 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 11

Trên đường tròn lượng giác, điểm M là điểm biểu diễn góc lượng giác có số đo t, khi đó:

- Tung độ của điểm M là sint.

- Hoành độ của điểm M là cost.

Vì tung độ và hoành độ của điểm M là xác định duy nhất nên sint và cost xác định duy nhất.

b) Nếu tπ2+kπ,k thì tan t = sintcost xác định duy nhất vì sint và cost xác định duy nhất.

Nếu tkπ thì cot t = costsint xác định duy nhất vì sint và cost xác định duy nhất.

2. Hàm số chẵn, hàm số lẻ, hàm số tuần hoàn

Hoạt động khám phá 2 trang 26 Toán 11 Tập 1: Xét hai hàm số y = x2, y = 2x và đồ thị của chúng trong Hình 2. Đối với mỗi trường hợp nêu mối liên hệ của giá trị hàm số tại 1 và – 1, 2 và – 2. Nhận xét về tính đối xứng của mỗi đồ thị hàm số.

Hoạt động khám phá 2 trang 26 Toán 11 Tập 1 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 11

 

Lời giải:

+) Xét Hình 2a): Tập xác định của hàm số là: D = ℝ

Tại x = 1 thì y = 12 = 1, x = – 1 thì y = (– 1)2 = 1.

Tại x = 2 thì y = 22 = 4, x = – 2 thì y = (– 2)2 = 4.

Nhận xét: Ta thấy với x ∈ D thì – x ∈ D thì

Đồ thị hàm số đối xứng với nhau qua trục Oy.

+) Xét Hình 2b): Tại x = 1 thì y = 2.1 = 2, x = – 1 thì y = 2.(– 1) = – 2.

Tại x = 2 thì y = 2.2 = 4, x = – 2 thì y = 2.(– 2) = – 4.

Nhận xét: Đồ thị hàm số đối xứng với nhau qua trục Oy.

Thực hành 1 trang 27 Toán 11 Tập 1: Chứng minh rằng hàm số y = sinx và hàm số y = cotx là các hàm số lẻ.

Lời giải:

+) Xét hàm số y = sinx có tập xác định D = ℝ

Lấy x ∈ D thì – x ∈ D và sin(– x) = – sinx. Do đó hàm số y = sinx là hàm số lẻ.

+) Xét hàm số y = cotx có tập xác định D = ℝ

Lấy x ∈ D thì – x ∈ D và cot(– x) = – cotx. Do đó hàm số y = cotx là hàm số lẻ.

Hoạt động khám phá 3 trang 27 Toán 11 Tập 1: Hãy chỉ ra một số thực T sao cho sin(x + T) = sinx với mọi x ℝ.

Lời giải:

Với số thực T = 2π thì sin(x + 2π) = sinx.

Thực hành 2 trang 27 Toán 11 Tập 1: Xét tính tuần hoàn của hàm số y = cosx và hàm số y = cotx.

Lời giải:

Ta có: cos(x + 2π) = cosx với mọi x ∈ ℝ;

cot(x + π) = cotx với mọi xkπ,k.

Do đó hàm số y = cosx và y = cotx là các hàm số tuần hoàn và tuần hoàn với chu kì T lần lượt là: 2π và π.

3. Đồ thị của các hàm số lượng giác

Hoạt động khám phá 4 trang 28 Toán 11 Tập 1: Hoàn thành bảng giá trị sau đây và xác định các điểm tương ứng trên mặt phẳng tọa độ.

x

π

5π6

2π3

π2

π3

π6

0

π6

π3

π2

2π3

5π6

π

y = sinx

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

Lời giải:

Với x=π thì y=sinπ=sinπ=0. Ta có điểm A’(–π; 0).

Với x=5π6 thì y=sin5π6=12. Ta có điểm B'5π6;12

Với x=2π3 thì y=sin2π3=32. Ta có điểm C'2π3;32

Với x=π2 thì y=sinπ2=1. Ta có điểm D'π2;1

Với x=π3 thì y=sinπ3=32. Ta có điểm E'π3;32

Với x=π6 thì y=sinπ6=12. Ta có điểm F'π6;32

Với x=0 thì y=sin0=0. Ta có điểm O(0; 0).

Với x=π6 thì y=sinπ6=12. Ta có điểm Fπ6;32.

Với x=π3 thì y=sinπ3=32. Ta có điểm Eπ3;32.

Với x=π2 thì y=sinπ2=1. Ta có điểm Dπ2;1.

Với x=2π3 thì y=sin2π3=32. Ta có điểm C2π3;32.

Với x=π thì y=sin5π6=12. Ta có điểm B5π6;12.

Với x=π thì y=sinπ=sinπ=0. Ta có điểm A(π; 0).

Khi đó ta có bảng:

x

π

5π6

2π3

π2

π3

π6

0

π6

π3

π2

2π3

5π6

π

y = sinx

0

12

32

– 1

32

12

0

12

32

1

32

12

0

Biểu diễn các điểm trên trên mặt phẳng tọa độ ta được:

Hoạt động khám phá 4 trang 28 Toán 11 Tập 1 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 11

Hoạt động khám phá 5 trang 28 Toán 11 Tập 1: Hoàn thành bảng giá trị sau đây và xác định các điểm tương ứng trên mặt phẳng tọa độ.

x

π

5π6

2π3

π2

π3

π6

0

π6

π3

π2

2π3

5π6

π

y = cosx

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

Lời giải:

Với x = π thì y = cos(π) = -1. Ta có điểm A’(–π; – 1).

Với x = 5π6 thì y = cos5π6=32. Ta có điểm B'5π6;32.

Với x = 2π3 thì y=cos2π3=12. Ta có điểm C'2π3;12.

Với x = π2 thì y = cosπ2=0. Ta có điểm D'π2;0.

Với x = π3 thì y = cosπ3=12. Ta có điểm E'π3;12.

Với x = π6 thì y = cosπ6=32. Ta có điểm F'π6;32.

Với x = 0 thì y = cos0 = 1. Ta có điểm I(0; 1).

Với x = π6 thì y = cosπ6=32. Ta có điểm Fπ6;32.

Với x = π3 thì y = cosπ6=32. Ta có điểm Fπ6;32.

Với x = π2 thì y = cosπ3=12. Ta có điểm Eπ3;12.

Với x = 2π3 thì y = cosπ2=0. Ta có điểm Dπ2;0.

Với x = 5π6 thì y = cos5π6=32. Ta có điểm B5π6;32.

Với x = π thì y=cosπ=cosπ=1. Ta có điểm A(π; – 1).

Khi đó ta có bảng:

x

π

5π6

2π3

π2

π3

π6

0

π6

π3

π2

2π3

5π6

π

y = cosx

– 1

32

12

0

12

-32

0

32

12

0

12

32

–1

Biểu diễn các điểm trên trên mặt phẳng tọa độ ta được:

Hoạt động khám phá 5 trang 28 Toán 11 Tập 1 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 11

Thực hành 3 trang 30 Toán 11 Tập 1: Cho hàm số y = cos x với xThực hành 3 trang 30 Toán 11 Tập 1 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 11

a) Vẽ đồ thị hàm số đã cho.

b) Tại các điểm nào thì giá trị của hàm số lớn nhất?

c) Tìm các giá trị của x thuộc Thực hành 3 trang 30 Toán 11 Tập 1 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 11 sao cho sinx-π4<0.

Lời giải:

Nội dung đang được cập nhật...

Vận dụng 1 trang 30 Toán 11 Tập 1: Li độ s(cm) của một con lắc đồng hồ theo thời gian t(giây) được cho bởi hàm số s = 2cosπt. Dựa vào đồ thị của hàm số côsin, hãy xác định ở các thời điểm t nào trong 3 giây đầu thì con lắc có li độ lớn nhất.

(Theo https://www.britannica.com/science/simple-harmonic-motion)

Vận dụng 1 trang 30 Toán 11 Tập 1 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 11

Lời giải:

Nội dung đang được cập nhật...

Hoạt động khám phá 6 trang 30 Toán 11 Tập 1: Hoàn thành bảng giá trị sau đây và xác định các điểm tương ứng trên mặt phẳng tọa độ.

x

π3

π4

π6

0

π6

π4

π3

y = tanx

?

?

?

?

?

?

?

Lời giải:

Với x=π3 thì y=tanπ3=3. Ta có điểm A'π3;3.

Với x=π4 thì y=tanπ4=1. Ta có điểm B'π4;1.

Với x=π6 thì y=tanπ3=33. Ta có điểm C'π6;33.

Với x=0 thì y=tan0=0. Ta có điểm O(0;0).

Với x=π6 thì y=tanπ6=33. Ta có điểm Cπ6;33.

Với x=π4 thì y=tanπ4=1. Ta có điểm Bπ4;1.

Với x=π3 thì y=tanπ3=3. Ta có điểm Aπ3;3.

Khi đó ta có bảng:

x

π3

π4

π6

0

π6

π4

π3

y = tanx

3

-1

33

0

33

1

3

Biểu diễn các điểm trên trên mặt phẳng tọa độ ta được:

Hoạt động khám phá 6 trang 30 Toán 11 Tập 1 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 11

Hoạt động khám phá 7 trang 31 Toán 11 Tập 1: Hoàn thành bảng giá trị sau đây và xác định các điểm tương ứng trên mặt phẳng tọa độ.

x

π6

π4

π3

π2

2π3

3π4

5π6

y = cotx

?

?

?

?

?

?

?

 

Lời giải:

Với x=π6 thì y=cotπ6=3. Ta có điểm A'π6;3.

Với x=π4 thì y=cotπ4=1. Ta có điểm B'π4;1.

Với x=π3 thì y=cotπ3=33. Ta có điểm C'π3;33.

Với x=π2 thì y=cotπ2=0. Ta có điểm D'π2;0.

Với x=2π3 thì y=cot2π3=33. Ta có điểm C2π3;33.

Với x=3π4 thì y=cot3π4=1. Ta có điểm B3π4;1.

Với x=5π6 thì y=cot5π6=3. Ta có điểm A5π6;3.

Khi đó ta có bảng:

x

π6

π4

π3

π2

2π3

3π4

5π6

y = cotx

3

1

33

0

-33

– 1

-3

Biểu diễn các điểm trên trên mặt phẳng tọa độ ta được:

Hoạt động khám phá 7 trang 31 Toán 11 Tập 1 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 11

Thực hành 4 trang 32 Toán 11 Tập 1: Có bao nhiêu giá trị x trên đoạn [–2π; 2π] thỏa mãn điều kiện tanx = 2?

Lời giải:

Cách 1: Ta có đồ thị của hàm số trên đoạn [–2π; 2π] là:

Thực hành 4 trang 32 Toán 11 Tập 1 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 11

Do đó có 4 giá trị x thỏa mãn điều kiện bài toán.

Vận dụng 2 trang 32 Toán 11 Tập 1: Trong địa lí, phép chiếu hình trụ được sử dụng để vẽ một bản đồ phẳng như trong Hình 10. Trên bản đồ phẳng lấy đường xích đạo làm trục hoàng và kinh tuyến 00 làm trục tung. Khi đó tung độ của một điểm có vĩ độ φo(-90 <φ< 90) được cho bởi hàm số y = 20tanπ180φ (cm). Sử dụng đồ thị hàm số tang, hãy cho biết những điểm ở vĩ độ nào nằm cách xích đạo 20 cm trên bản đồ.

(Theo https://geologyscience.com/geology/types-of-maps/)

Vận dụng 2 trang 32 Toán 11 Tập 1 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 11

Lời giải:

Nội dung đang được cập nhật

Bài tập

Bài 1 trang 32 Toán 11 Tập 1: Các hàm số dưới đây có là hàm số chẵn hay hàm số lẻ không?

a) y = 5sin2x + 1;

b) y = cosx + sinx;

c) y = tan2x.

Lời giải:

a) Xét hàm số: y = 5sin2x + 1, có:

Tập xác định D = ℝ.

Nếu x ∈ D thì – x ∈ D có y( – x) = 5sin2(– x) + 1 = 5sin2 x + 1 = y(x).

Vì vậy hàm số này là hàm chẵn.

b) Xét hàm số: y = cosx + sinx

Tập xác định: D = ℝ

Nếu x ∈ D thì – x ∈ D có y( – x) = cos(– x) + sin(– x) = cosx – sin x ≠ y(x).

Vì vậy hàm số này không là hàm chẵn cũng không là hàm lẻ.

c) y = tan2x.

Tập xác định D = \π4+kπ,k.

Nếu x ∈ D thì – x ∈ D có y( – x) = tan(– 2x) = – tan2x ≠ y(x).

Vì vậy hàm số này là hàm lẻ.

Bài 2 trang 32 Toán 11 Tập 1: Tìm tập xác định của các hàm số sau:

a) y=1cosx;

b) tanx+π4;

c) y=12sin2x.

Lời giải:

a) Điều kiện xác định là: cosx0xπ2+k2π,k

Suy ra tập xác định của hàm số y=1cosx là: D=\π2+k2π,k.

b) Điểu kiện xác định là: cosx+π40xπ4+k2π,k

Suy ra tập xác định của hàm số y=tanx+π4 là: D=\π4+k2π,k.

c) Điều kiện xác định là: 2sin2x0

 1x1 nên 2sin2x0 với mọi x ∈ ℝ.

Suy ra tập xác định của hàm số y=12sin2x là: D = ℝ.

Bài 3 trang 33 Toán 11 Tập 1: Tìm tập giá trị của hàm số y = 2cosx + 1.

Lời giải:

Ta có: – 1 ≤ cosx ≤ 1 khi đó – 1 ≤ 2cosx + 1 ≤ 3.

Vậy tập giá trị của hàm số là D = [– 1; 3].

Bài 4 trang 33 Toán 11 Tập 1: Dựa vào đồ thị hàm số y = sinx, xác định các giá trị x  [– π; π] thỏa mãn sinx = 12.

Lời giải:

Đồ thị của hàm số y = sinx trên đoạn [– π; π] là:

Bài 4 trang 33 Toán 11 Tập 1 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 11

Ta thấy đồ thị hàm số giao với đường thẳng y=12 tại 2 điểm do đó phương trình sinx = 12 có hai giá trị x thỏa mãn.

Bài 5 trang 33 Toán 11 Tập 1: Khi đu quay hoạt động, vận tốc theo phương ngang của một cabin M phụ thuộc vào góc lượng giác α = (Ox, OM) theo hàm số vx = 0,3sin α (m/s) (Hình 11).

Bài 5 trang 33 Toán 11 Tập 1 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 11

a) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của vx.

b) Dựa vào độ thị của hàm số sin, hãy cho viết trong các vòng quay đầu tiên (0 ≤ α ≤ 2π), góc α ở trong các khoảng nào thì vx tăng.

Lời giải:

a) Vì – 1 ≤ sin α ≤ 1 nên – 0,3 ≤ 0,3sin α ≤ 0,3.

Do đó giá trị nhỏ nhất của vx là – 0,3, giá trị lớn nhất của vx là 0,3.

b) Ta có đồ thị hàm số:

Bài 5 trang 33 Toán 11 Tập 1 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 11

Với góc α0;π2 hoặc α3π2;2π thì vx tăng.

Bài 6 trang 33 Toán 11 Tập 1: Khoảng cách từ tâm một guồng nước đến mặt nước và bán kính của guồng đều bằng 3m. Xét gàu G của guồng. Ban đầu gàu G nằm ở vị trí A (Hình 12).

Bài 6 trang 33 Toán 11 Tập 1 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 11

a) Viết hàm số h biểu diễn chiều cao (tính bằng mét) của gàu G so với mặt nước theo góc α = (OA, OG).

b) Guồng nước quay hết mỗi vòng trong 30 giây. Dựa vào đồ thị của hàm số sin hãy cho biết ở các thời điểm t nào trong 1 phút đầu, khoảng cách của gàu đến mặt nước bằng 1,5m.

Lời giải:

a) Điểm G là điểm biểu diễn cho góc lượng giác có số đo α. Khi đó tọa độ điểm G(3cosα; 3sinα).

Chiều cao của gàu ở vị trí G đến mặt nước là: 3 + 3sinα (m).

b) Khoảng cách của gàu đến mặt nước bằng 1,5m khi 3 + 3sinα = 1,5 ⇔ sinα =12.

Một vòng quay là 30 giây và t nằm trong khoảng từ 0 đến 1 phút do đó t ∈ [0; 2π].

Bài 6 trang 33 Toán 11 Tập 1 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 11

Bài 7 trang 33 Toán 11 Tập 1: Trong Hình 13, một chiếc máy bay A bay ở độ cao 500m theo một đường thẳng đi ngang qua phía trên trạm quan sát T ở mặt đất. Hình chiếu vuông góc của A lên mặt đất là H, α là góc lượng giác (Tx, TA) (0 < α < π).

Bài 7 trang 33 Toán 11 Tập 1 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 11

a) Biểu diễn tọa độ xH của điểm H trên trục Tx theo α.

b) Dựa vào đồ thị hàm số côtang, hãy cho biết với π6<α<2π3 thì xH nằm trong khoảng nào. Làm tròn kết quả đến hàng phần mười.

Lời giải:

a) Xét tam giác AHT vuông tại H có:

cotα=THAHTH=AH.cotα=500.cotα.

Vậy trên trục Tx tọa độ xH=500.cotα.

b) Ta có đồ thị của hàm số y = cotα trong khoảng π6<α<2π3 là:

Bài 7 trang 33 Toán 11 Tập 1 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 11

Khi đó 13<cotα<3

5003<500cotα<5003 hay 5003<xH<5003288,7<xH<866.

Xem thêm các bài giải SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Bài 2: Giá trị lượng giác của một góc lượng giác

Bài 3: Các công thức lượng giác

Bài 5: Phương trình lượng giác

Bài tập cuối chương 1

Bài 1: Dãy số

 

Câu hỏi liên quan

Giả sử hoành độ của điểm M là y. Khi đó ta có sinx = y.
Xem thêm
Xem tất cả hỏi đáp với chuyên mục: Hàm số lượng giác và đồ thị Xem tất cả hỏi đáp với chuyên mục: Hàm số lượng giác và đồ thị giác
Bình luận (0)

Đăng nhập để có thể bình luận

Chưa có bình luận nào. Bạn hãy là người đầu tiên cho tôi biết ý kiến!