Giải SGK Toán 11 (Chân trời sáng tạo) Bài 4: Hàm số lượng giác và đồ thị

Giải Toán 11 Bài 4: Hàm số lượng giác và đồ thị giác

Hoạt động khởi động trang 25 Toán 11 Tập 1: Vì sao mặt cắt của sóng nước trên mặt hồ được gọi là có dạng hình sin?

Lời giải:

Sau khi học xong bài học này, chúng ta sẽ nhận biết được đồ thị hình sin và hình ảnh mặt cắt của sóng nước trên mặt hồ chính là một ví dụ điển hình.

1. Hàm số lượng giác

Hoạt động khám phá 1 trang 25 Toán 11 Tập 1: Cho số thực t và M là điểm biểu diễn của góc lượng giác có số đo t rad trên đường tròn lượng giác, hãy giải thích vì sao xác định duy nhất:

a) Giá trị sint và cost;

b) Giá trị tant (nếu $t\ne \frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$) và cost (nếu $t\ne k\pi ,k\in \mathbb{Z}$).

Lời giải:

Trên đường tròn lượng giác, điểm M là điểm biểu diễn góc lượng giác có số đo t, khi đó:

- Tung độ của điểm M là sint.

- Hoành độ của điểm M là cost.

Vì tung độ và hoành độ của điểm M là xác định duy nhất nên sint và cost xác định duy nhất.

b) Nếu $t\ne \frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$ thì tan t = $\frac{\sin t}{\text{cos}t}$ xác định duy nhất vì sint và cost xác định duy nhất.

Nếu t$\ne$k$\pi$ thì cot t = $\frac{\text{cos}t}{\sin t}$ xác định duy nhất vì sint và cost xác định duy nhất.

2. Hàm số chẵn, hàm số lẻ, hàm số tuần hoàn

Hoạt động khám phá 2 trang 26 Toán 11 Tập 1: Xét hai hàm số y = x², y = 2x và đồ thị của chúng trong Hình 2. Đối với mỗi trường hợp nêu mối liên hệ của giá trị hàm số tại 1 và – 1, 2 và – 2. Nhận xét về tính đối xứng của mỗi đồ thị hàm số.

Lời giải:

+) Xét Hình 2a): Tập xác định của hàm số là: D = ℝ

Tại x = 1 thì y = 1² = 1, x = – 1 thì y = (– 1)² = 1.

Tại x = 2 thì y = 2² = 4, x = – 2 thì y = (– 2)² = 4.

Nhận xét: Ta thấy với x ∈ D thì – x ∈ D thì

Đồ thị hàm số đối xứng với nhau qua trục Oy.

+) Xét Hình 2b): Tại x = 1 thì y = 2.1 = 2, x = – 1 thì y = 2.(– 1) = – 2.

Tại x = 2 thì y = 2.2 = 4, x = – 2 thì y = 2.(– 2) = – 4.

Nhận xét: Đồ thị hàm số đối xứng với nhau qua trục Oy.

Thực hành 1 trang 27 Toán 11 Tập 1: Chứng minh rằng hàm số y = sinx và hàm số y = cotx là các hàm số lẻ.

Lời giải:

+) Xét hàm số y = sinx có tập xác định D = ℝ

Lấy x ∈ D thì – x ∈ D và sin(– x) = – sinx. Do đó hàm số y = sinx là hàm số lẻ.

+) Xét hàm số y = cotx có tập xác định D = ℝ

Lấy x ∈ D thì – x ∈ D và cot(– x) = – cotx. Do đó hàm số y = cotx là hàm số lẻ.

Hoạt động khám phá 3 trang 27 Toán 11 Tập 1: Hãy chỉ ra một số thực T sao cho sin(x + T) = sinx với mọi x ∈ℝ.

Lời giải:

Với số thực T = 2π thì sin(x + 2π) = sinx.

Thực hành 2 trang 27 Toán 11 Tập 1: Xét tính tuần hoàn của hàm số y = cosx và hàm số y = cotx.

Lời giải:

Ta có: cos(x + 2π) = cosx với mọi x ∈ ℝ;

cot(x + π) = cotx với mọi $x\ne k\pi ,k\in \mathbb{Z}$.

Do đó hàm số y = cosx và y = cotx là các hàm số tuần hoàn và tuần hoàn với chu kì T lần lượt là: 2π và π.

3. Đồ thị của các hàm số lượng giác

Hoạt động khám phá 4 trang 28 Toán 11 Tập 1: Hoàn thành bảng giá trị sau đây và xác định các điểm tương ứng trên mặt phẳng tọa độ.

Lời giải:

Với $x=-\pi$ thì $y=s\text{in}\left(-\pi \right)=-\sin \pi =0$. Ta có điểm A’(–π; 0).

Với $x=-\frac{5\pi }{6}$ thì $y=s\text{in}\left(-\frac{5\pi }{6}\right)=-\frac{1}{2}$. Ta có điểm $B\text{'}\left(-\frac{5\pi }{6};-\frac{1}{2}\right)$

Với $x=-\frac{2\pi }{3}$ thì $y=s\text{in}\left(-\frac{2\pi }{3}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$. Ta có điểm $C\text{'}\left(-\frac{2\pi }{3};-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$

Với $x=-\frac{\pi }{2}$ thì $y=s\text{in}\left(-\frac{\pi }{2}\right)=-1$. Ta có điểm $D\text{'}\left(-\frac{\pi }{2};-1\right)$

Với $x=-\frac{\pi }{3}$ thì $y=s\text{in}\left(-\frac{\pi }{3}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$. Ta có điểm $E\text{'}\left(-\frac{\pi }{3};-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$

Với $x=-\frac{\pi }{6}$ thì $y=s\text{in}\left(-\frac{\pi }{6}\right)=-\frac{1}{2}$. Ta có điểm $F\text{'}\left(-\frac{\pi }{6};-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$

Với $x=0$ thì $y=s\text{in0}=0$. Ta có điểm O(0; 0).

Với $x=\frac{\pi }{6}$ thì $y=s\text{in}\left(\frac{\pi }{6}\right)=\frac{1}{2}$. Ta có điểm $F\left(\frac{\pi }{6};\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$.

Với $x=\frac{\pi }{3}$ thì $y=s\text{in}\left(\frac{\pi }{3}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}$. Ta có điểm $E\left(\frac{\pi }{3};\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$.

Với $x=\frac{\pi }{2}$ thì $y=s\text{in}\left(\frac{\pi }{2}\right)=1$. Ta có điểm $D\left(\frac{\pi }{2};1\right)$.

Với $x=\frac{2\pi }{3}$ thì $y=s\text{in}\left(\frac{2\pi }{3}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}$. Ta có điểm $C\left(\frac{2\pi }{3};\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$.

Với $x=\pi$ thì $y=s\text{in}\left(\frac{5\pi }{6}\right)=\frac{1}{2}$. Ta có điểm $B\left(\frac{5\pi }{6};\frac{1}{2}\right)$.

Với $x=\pi$ thì $y=s\text{in}\left(\pi \right)=\sin \pi =0$. Ta có điểm A(π; 0).

Khi đó ta có bảng:

Biểu diễn các điểm trên trên mặt phẳng tọa độ ta được:

Hoạt động khám phá 5 trang 28 Toán 11 Tập 1: Hoàn thành bảng giá trị sau đây và xác định các điểm tương ứng trên mặt phẳng tọa độ.

Lời giải:

Với x = $-\pi$ thì y = cos($-\pi$) = -1. Ta có điểm A’(–π; – 1).

Với x = $-\frac{5\pi }{6}$ thì y = cos$\left(-\frac{5\pi }{6}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}$. Ta có điểm B'$\left(-\frac{5\pi }{6};-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$.

Với x = $-\frac{2\pi }{3}$ thì $y=\text{cos}\left(-\frac{2\pi }{3}\right)=-\frac{1}{2}$. Ta có điểm C'$\left(-\frac{2\pi }{3};-\frac{1}{2}\right)$.

Với x = $-\frac{\pi }{2}$ thì y = cos$\left(-\frac{\pi }{2}\right)=0$. Ta có điểm D'$\left(-\frac{\pi }{2};0\right)$.

Với x = $-\frac{\pi }{3}$ thì y = cos$\left(-\frac{\pi }{3}\right)=\frac{1}{2}$. Ta có điểm E'$\left(-\frac{\pi }{3};\frac{1}{2}\right)$.

Với x = $-\frac{\pi }{6}$ thì y = cos$\left(-\frac{\pi }{6}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}$. Ta có điểm F'$\left(-\frac{\pi }{6};\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$.

Với x = 0 thì y = cos0 = 1. Ta có điểm I(0; 1).

Với x = $\frac{\pi }{6}$ thì y = cos$\left(\frac{\pi }{6}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}$. Ta có điểm F$\left(\frac{\pi }{6};\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$.

Với x = $\frac{\pi }{3}$ thì y = cos$\left(\frac{\pi }{6}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}$. Ta có điểm F$\left(\frac{\pi }{6};\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$.

Với x = $\frac{\pi }{2}$ thì y = cos$\left(\frac{\pi }{3}\right)=\frac{1}{2}$. Ta có điểm E$\left(\frac{\pi }{3};\frac{1}{2}\right)$.

Với x = $\frac{2\pi }{3}$ thì y = cos$\left(\frac{\pi }{2}\right)=0$. Ta có điểm D$\left(\frac{\pi }{2};0\right)$.

Với x = $\frac{5\pi }{6}$ thì y = cos$\left(\frac{5\pi }{6}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$. Ta có điểm $B\left(\frac{5\pi }{6};-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$.

Với x = $\pi$ thì $y=\text{cos}\left(\pi \right)=\text{cos}\pi =-1$. Ta có điểm A(π; – 1).

Khi đó ta có bảng:

Biểu diễn các điểm trên trên mặt phẳng tọa độ ta được:

Thực hành 3 trang 30 Toán 11 Tập 1: Cho hàm số y = cos x với x$\in$

a) Vẽ đồ thị hàm số đã cho.

b) Tại các điểm nào thì giá trị của hàm số lớn nhất?

c) Tìm các giá trị của x thuộc  sao cho sin$\left(x-\frac{\pi }{4}\right)$<0.

Lời giải:

Nội dung đang được cập nhật...

Vận dụng 1 trang 30 Toán 11 Tập 1: Li độ s(cm) của một con lắc đồng hồ theo thời gian t(giây) được cho bởi hàm số s = 2cos$\pi$t. Dựa vào đồ thị của hàm số côsin, hãy xác định ở các thời điểm t nào trong 3 giây đầu thì con lắc có li độ lớn nhất.

(Theo https://www.britannica.com/science/simple-harmonic-motion)

Lời giải:

Nội dung đang được cập nhật...

Hoạt động khám phá 6 trang 30 Toán 11 Tập 1: Hoàn thành bảng giá trị sau đây và xác định các điểm tương ứng trên mặt phẳng tọa độ.

Lời giải:

Với $x=-\frac{\pi }{3}$ thì $y=\tan \left(-\frac{\pi }{3}\right)=-\sqrt{3}$. Ta có điểm A'$\left(-\frac{\pi }{3};-\sqrt{3}\right)$.

Với $x=-\frac{\pi }{4}$ thì $y=\tan \left(-\frac{\pi }{4}\right)=-1$. Ta có điểm B'$\left(-\frac{\pi }{4};-1\right)$.

Với $x=-\frac{\pi }{6}$ thì $y=\tan \left(-\frac{\pi }{3}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{3}$. Ta có điểm C'$\left(-\frac{\pi }{6};-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)$.

Với $x=0$ thì $y=\tan \left(0\right)=0$. Ta có điểm O(0;0).

Với $x=\frac{\pi }{6}$ thì $y=\tan \left(\frac{\pi }{6}\right)=\frac{\sqrt{3}}{3}$. Ta có điểm C$\left(\frac{\pi }{6};\frac{\sqrt{3}}{3}\right)$.

Với $x=\frac{\pi }{4}$ thì $y=\tan \left(\frac{\pi }{4}\right)=1$. Ta có điểm B$\left(\frac{\pi }{4};1\right)$.

Với $x=\frac{\pi }{3}$ thì $y=\tan \left(\frac{\pi }{3}\right)=\sqrt{3}$. Ta có điểm A$\left(\frac{\pi }{3};\sqrt{3}\right)$.

Khi đó ta có bảng:

Biểu diễn các điểm trên trên mặt phẳng tọa độ ta được:

Hoạt động khám phá 7 trang 31 Toán 11 Tập 1: Hoàn thành bảng giá trị sau đây và xác định các điểm tương ứng trên mặt phẳng tọa độ.

Lời giải:

Với $x=\frac{\pi }{6}$ thì $y=\cot \left(\frac{\pi }{6}\right)=\sqrt{3}$. Ta có điểm A'$\left(\frac{\pi }{6};\sqrt{3}\right)$.

Với $x=\frac{\pi }{4}$ thì $y=\cot \left(\frac{\pi }{4}\right)=1$. Ta có điểm B'$\left(\frac{\pi }{4};1\right)$.

Với $x=\frac{\pi }{3}$ thì $y=\cot \left(\frac{\pi }{3}\right)=\frac{\sqrt{3}}{3}$. Ta có điểm C'$\left(\frac{\pi }{3};\frac{\sqrt{3}}{3}\right)$.

Với $x=\frac{\pi }{2}$ thì $y=\cot \left(\frac{\pi }{2}\right)=0$. Ta có điểm D'$\left(\frac{\pi }{2};0\right)$.

Với $x=\frac{2\pi }{3}$ thì $y=\cot \left(\frac{2\pi }{3}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{3}$. Ta có điểm C$\left(\frac{2\pi }{3};-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)$.

Với $x=\frac{3\pi }{4}$ thì $y=\cot \left(\frac{3\pi }{4}\right)=-1$. Ta có điểm B$\left(\frac{3\pi }{4};-1\right)$.

Với $x=\frac{5\pi }{6}$ thì $y=\cot \left(\frac{5\pi }{6}\right)=-\sqrt{3}$. Ta có điểm A$\left(\frac{5\pi }{6};-\sqrt{3}\right)$.

Khi đó ta có bảng:

Biểu diễn các điểm trên trên mặt phẳng tọa độ ta được:

Thực hành 4 trang 32 Toán 11 Tập 1: Có bao nhiêu giá trị x trên đoạn [–2π; 2π] thỏa mãn điều kiện tanx = 2?

Lời giải:

Cách 1: Ta có đồ thị của hàm số trên đoạn [–2π; 2π] là:

Do đó có 4 giá trị x thỏa mãn điều kiện bài toán.

Vận dụng 2 trang 32 Toán 11 Tập 1: Trong địa lí, phép chiếu hình trụ được sử dụng để vẽ một bản đồ phẳng như trong Hình 10. Trên bản đồ phẳng lấy đường xích đạo làm trục hoàng và kinh tuyến 0⁰ làm trục tung. Khi đó tung độ của một điểm có vĩ độ ${\phi }^o$(-90 <$\phi$< 90) được cho bởi hàm số y = 20tan$\left(\frac{\pi }{180}\phi \right)$ (cm). Sử dụng đồ thị hàm số tang, hãy cho biết những điểm ở vĩ độ nào nằm cách xích đạo 20 cm trên bản đồ.

(Theo https://geologyscience.com/geology/types-of-maps/)

Lời giải:

Nội dung đang được cập nhật

Bài tập

Bài 1 trang 32 Toán 11 Tập 1: Các hàm số dưới đây có là hàm số chẵn hay hàm số lẻ không?

a) y = 5sin²x + 1;

b) y = cosx + sinx;

c) y = tan2x.

Lời giải:

a) Xét hàm số: y = 5sin²x + 1, có:

Tập xác định D = ℝ.

Nếu x ∈ D thì – x ∈ D có y( – x) = 5sin²(– x) + 1 = 5sin² x + 1 = y(x).

Vì vậy hàm số này là hàm chẵn.

b) Xét hàm số: y = cosx + sinx

Tập xác định: D = ℝ

Nếu x ∈ D thì – x ∈ D có y( – x) = cos(– x) + sin(– x) = cosx – sin x ≠ y(x).

Vì vậy hàm số này không là hàm chẵn cũng không là hàm lẻ.

c) y = tan2x.

Tập xác định D = $ℝ\backslash \left(\frac{\pi }{4}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}\right)$.

Nếu x ∈ D thì – x ∈ D có y( – x) = tan(– 2x) = – tan2x ≠ y(x).

Vì vậy hàm số này là hàm lẻ.

Bài 2 trang 32 Toán 11 Tập 1: Tìm tập xác định của các hàm số sau:

a) $y=\frac{1}{\cos x}$;

b) $\tan \left(x+\frac{\pi }{4}\right)$;

c) $y=\frac{1}{2-{\sin }^{2}x}$.

Lời giải:

a) Điều kiện xác định là: $\text{cos}x\ne 0\iff x\ne \frac{\pi }{2}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$

Suy ra tập xác định của hàm số $y=\frac{1}{\cos x}$ là: $D=ℝ\backslash \left(\frac{\pi }{2}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}\right)$.

b) Điểu kiện xác định là: $\text{cos}\left(x+\frac{\pi }{4}\right)\ne 0\iff x\ne \frac{\pi }{4}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$

Suy ra tập xác định của hàm số $y=\tan \left(x+\frac{\pi }{4}\right)$ là: $D=ℝ\backslash \left(\frac{\pi }{4}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}\right)$.

c) Điều kiện xác định là: $2-{\sin }^{2}x\ne 0$

Vì $-1\le x\le 1$ nên $2-{\sin }^{2}x\ne 0$ với mọi x ∈ ℝ.

Suy ra tập xác định của hàm số $y=\frac{1}{2-{\sin }^{2}x}$ là: D = ℝ.

Bài 3 trang 33 Toán 11 Tập 1: Tìm tập giá trị của hàm số y = 2cosx + 1.

Lời giải:

Ta có: – 1 ≤ cosx ≤ 1 khi đó – 1 ≤ 2cosx + 1 ≤ 3.

Vậy tập giá trị của hàm số là D = [– 1; 3].

Bài 4 trang 33 Toán 11 Tập 1: Dựa vào đồ thị hàm số y = sinx, xác định các giá trị x ∈ [– π; π] thỏa mãn sinx = $\frac{1}{2}$.

Lời giải:

Đồ thị của hàm số y = sinx trên đoạn [– π; π] là:

Ta thấy đồ thị hàm số giao với đường thẳng $y=\frac{1}{2}$ tại 2 điểm do đó phương trình sinx = $\frac{1}{2}$ có hai giá trị x thỏa mãn.

Bài 5 trang 33 Toán 11 Tập 1: Khi đu quay hoạt động, vận tốc theo phương ngang của một cabin M phụ thuộc vào góc lượng giác α = (Ox, OM) theo hàm số v_x = 0,3sin α (m/s) (Hình 11).

a) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của v_x.

b) Dựa vào độ thị của hàm số sin, hãy cho viết trong các vòng quay đầu tiên (0 ≤ α ≤ 2π), góc α ở trong các khoảng nào thì v_x tăng.

Lời giải:

a) Vì – 1 ≤ sin α ≤ 1 nên – 0,3 ≤ 0,3sin α ≤ 0,3.

Do đó giá trị nhỏ nhất của v_x là – 0,3, giá trị lớn nhất của v_x là 0,3.

b) Ta có đồ thị hàm số:

Với góc $\alpha \in \left(0;\frac{\pi }{2}\right)$ hoặc $\alpha \in \left(\frac{3\pi }{2};2\pi \right)$ thì v_x tăng.

Bài 6 trang 33 Toán 11 Tập 1: Khoảng cách từ tâm một guồng nước đến mặt nước và bán kính của guồng đều bằng 3m. Xét gàu G của guồng. Ban đầu gàu G nằm ở vị trí A (Hình 12).

a) Viết hàm số h biểu diễn chiều cao (tính bằng mét) của gàu G so với mặt nước theo góc α = (OA, OG).

b) Guồng nước quay hết mỗi vòng trong 30 giây. Dựa vào đồ thị của hàm số sin hãy cho biết ở các thời điểm t nào trong 1 phút đầu, khoảng cách của gàu đến mặt nước bằng 1,5m.

Lời giải:

a) Điểm G là điểm biểu diễn cho góc lượng giác có số đo α. Khi đó tọa độ điểm G(3cosα; 3sinα).

Chiều cao của gàu ở vị trí G đến mặt nước là: 3 + 3sinα (m).

b) Khoảng cách của gàu đến mặt nước bằng 1,5m khi 3 + 3sinα = 1,5 ⇔ sinα =$-\frac{1}{2}$.

Một vòng quay là 30 giây và t nằm trong khoảng từ 0 đến 1 phút do đó t ∈ [0; 2π].

Bài 7 trang 33 Toán 11 Tập 1: Trong Hình 13, một chiếc máy bay A bay ở độ cao 500m theo một đường thẳng đi ngang qua phía trên trạm quan sát T ở mặt đất. Hình chiếu vuông góc của A lên mặt đất là H, α là góc lượng giác (Tx, TA) (0 < α < π).

a) Biểu diễn tọa độ x_H của điểm H trên trục T_x theo α.

b) Dựa vào đồ thị hàm số côtang, hãy cho biết với $\frac{\pi }{6}<\alpha <\frac{2\pi }{3}$ thì x_H nằm trong khoảng nào. Làm tròn kết quả đến hàng phần mười.

Lời giải:

a) Xét tam giác AHT vuông tại H có:

$\cot \alpha =\frac{TH}{AH}\iff TH=AH.\cot \alpha =500.\cot \alpha$.

Vậy trên trục T_x tọa độ $x_H=500.\cot \alpha$.

b) Ta có đồ thị của hàm số y = cotα trong khoảng $\frac{\pi }{6}<\alpha <\frac{2\pi }{3}$ là:

Khi đó $-\frac{1}{\sqrt{3}}<\cot \alpha <\sqrt{3}$

$\Rightarrow -\frac{500}{\sqrt{3}}<500\cot \alpha <500\sqrt{3}$ hay $-\frac{500}{\sqrt{3}}<x_H<500\sqrt{3}\iff -288,7<x_H<866$.

Xem thêm các bài giải SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Bài 2: Giá trị lượng giác của một góc lượng giác

Bài 3: Các công thức lượng giác

Bài 5: Phương trình lượng giác

Bài tập cuối chương 1

Bài 1: Dãy số