Giải SGK Toán 10 (Kết nối tri thức) Bài tập cuối chương 6 trang 28, 29

Giải Toán 10 Bài tập cuối chương 6 trang 28, 29

A. Trắc nghiệm

Bài 6.24 trang 28 Toán 10 Tập 2: Tập xác định của hàm số y = $\frac{1}{\sqrt{x-2}}$ là: 

A. D = [2; + ∞). 

B. D = (2; + ∞). 

C. D = R\{2}. 

D. D = R. 

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Biểu thức $\frac{1}{\sqrt{x-2}}$ có nghĩa khi x – 2 > 0 ⇔ x > 2. 

Vậy tập xác định của hàm số đã cho là D = (2; + ∞). 

Bài 6.25 trang 28 Toán 10 Tập 2: Parabol y = – x² + 2x + 3 có đỉnh là

A. I(– 1; 0). 

B. I(3; 0).

C. I(0; 3). 

D. I(1; 4). 

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Ta có các hệ số: a = – 1; b = 2, c = 3. 

$\frac{-b}{2a}=\frac{-2}{2.\left(-1\right)}=1$

y(1) = – 1² + 2 . 1 + 3 = 4. 

Vậy tọa độ đỉnh của parabol là I(1; 4). 

Bài 6.26 trang 28 Toán 10 Tập 2: Hàm số y = x² – 5x + 4 

A. Đồng biến trên khoảng (1; + ∞). 

B. Đồng biến trên khoảng (– ∞; 4). 

C. Nghịch biến trên khoảng (– ∞; 1). 

D. Nghịch biến trên khoảng (1; 4).

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Các hệ số a = 1 > 0, b = – 5, c = 4. 

Ta có: $\frac{-b}{2a}=\frac{-\left(-5\right)}{2.1}=\frac{5}{2}$

Do đó hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng $\left(-\infty ;\frac{5}{2}\right)$và đồng biến trên khoảng $\left(\frac{5}{2};+\infty \right)$. 

Mà (– ∞; 1) $\subset \left(-\infty ;\frac{5}{2}\right)$ nên hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (– ∞; 1). 

Bài 6.27 trang 28 Toán 10 Tập 2: Bất phương trình x² – 2mx + 4 > 0 nghiệm đúng với mọi $x\in ℝ$ khi 

A. m = – 1. 

B. m = – 2. 

C. m = 2.

D. m > 2. 

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Xét tam thức bậc hai f(x) = x² – 2mx + 4 có hệ số a = 1 > 0, ∆' = (– m)² – 1 . 4 = m² – 4.

Để f(x) > 0 (cùng dấu với hệ số a) với mọi $x\in ℝ$ thì ∆' < 0 hay m² – 4 < 0. 

⇔ m² < 4 ⇔ – 2 < m < 2. 

Trong các đáp án đã cho, ta thấy đáp án A. m = – 1 là thỏa mãn. 

Bài 6.28 trang 28 Toán 10 Tập 2: Tập nghiệm của phương trình $\sqrt{2x^2-3}=x-1$ là

A. $\left\{-1-\sqrt{5};-1+\sqrt{5}\right\}$.

B. $\left\{-1-\sqrt{5}\right\}$. 

C. $\left\{-1+\sqrt{5}\right\}$.

D. $\varnothing$. 

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Bình phương hai vế của phương trình $\sqrt{2x^2-3}=x-1$ta được: 

2x² – 3 = x² – 2x + 1 

⇔ x² + 2x – 4 = 0 

⇔ x = $-1-\sqrt{5}$  hoặc $-1+\sqrt{5}$. 

Lần lượt thay các giá trị trên vào phương trình đã cho, ta thấy x = $-1+\sqrt{5}$ thỏa mãn. 

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S = {$-1+\sqrt{5}$}.

B. Tự luận

Bài 6.29 trang 28 Toán 10 Tập 2: Tìm tập xác định của các hàm số sau: 

a) $y=\sqrt{2x-1}+\sqrt{5-x}$; 

b) $y=\frac{1}{\sqrt{x-1}}$.

Lời giải:

a) Biểu thức $\sqrt{2x-1}+\sqrt{5-x}$ có nghĩa khi $\left\{\begin{array}{l}2x-1\ge 0\\ 5-x\ge 0\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}x\ge \frac{1}{2}\\ x\le 5\end{array}\right.\iff \frac{1}{2}\le x\le 5$.

Vậy tập xác định của hàm số đã cho là D = $\left[\frac{1}{2};5\right]$. 

b) Biểu thức $\frac{1}{\sqrt{x-1}}$ có nghĩa khi x – 1 > 0 hay x > 1. 

Vậy tập xác định của hàm số đã cho là D = (1; + ∞). 

Bài 6.30 trang 28 Toán 10 Tập 2: Với mỗi hàm số dưới đây, hãy vẽ đồ thị, tìm tập giá trị, khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến của nó:

a) y = – x² + 6x – 9; 

b) y = – x² – 4x + 1; 

c) y = x² + 4x; 

d) y = 2x² + 2x + 1. 

Lời giải:

a) y = – x² + 6x – 9 là hàm số bậc hai nên đồ thị là một parabol. 

Hệ số a = – 1 < 0 nên bề lõm của đồ thị quay xuống dưới. 

Parabol trên có: 

+ Tọa độ đỉnh I(3; 0);

+ Trục đối xứng x = 3;

+ Cắt trục Oy tại điểm A(0; – 9);

+ Điểm đối xứng với A qua trục đối xứng x = 3 là B(6; – 9);

+ Lấy điểm D(1; – 4) thuộc parabol, điểm đối xứng với D là trục đối xứng x = 3 là E(5; – 4).

Vẽ đường cong đi qua các điểm trên ta được đồ thị hàm số cần vẽ. 

Quan sát đồ thị ta thấy:

+ Tập giá trị của hàm số là (– ∞; 0].

+ Hàm số đồng biến trên khoảng (– ∞; 3) (do đồ thị hàm số đi lên từ trái sang phải) và nghịch biến trên khoảng (3; + ∞) (do đồ thị hàm số đi xuống từ trái sang phải). 

b) y = – x² – 4x + 1 là hàm số bậc hai nên đồ thị là một parabol. 

Hệ số a = – 1 < 0 nên bề lõm của đồ thị quay xuống dưới. 

Parabol trên có: 

+ Tọa độ đỉnh I(– 2; 5);

+ Trục đối xứng x = – 2; 

+ Cắt trục Oy tại điểm A(0; 1);

+ Điểm đối xứng với A qua trục đối xứng x = – 2 là B(– 4; 1);

+ Lấy điểm C(– 1; 4) thuộc đồ thị, điểm đối xứng với C qua trục đối xứng x = – 2 là D(– 3; 4).

Vẽ đường cong đi qua các điểm trên ta được đồ thị hàm số cần vẽ. 

Quan sát đồ thị hàm số ta thấy:

+ Tập giá trị của hàm số là (– ∞; 5]. 

+ Hàm số đồng biến trên khoảng (– ∞; – 2) và nghịch biến trên khoảng (– 2; + ∞). 

c) y = x² + 4x là hàm số bậc hai nên đồ thị là một parabol. 

Hệ số a = 1 > 0 nên bề lõm của đồ thị quay lên trên. 

Parabol trên có: 

+ Tọa độ đỉnh I(– 2; – 4);

+ Trục đối xứng x = – 2;

+ Cắt trục Oy tại điểm gốc tọa độ O(0; 0);

+ Điểm đối xứng với O qua trục đối xứng x = – 2 là điểm B(– 4; 0);

+ Lấy điểm C(– 1; – 3) thuộc đồ thị, điểm đối xứng với C qua trục đối xứng x = – 2 là D(– 3; – 3).

Vẽ đường cong đi qua các điểm trên ta được đồ thị cần vẽ. 

Quan sát đồ thị hàm số ta thấy:

+ Tập giá trị của hàm số là [– 4; + ∞).

+ Hàm số nghịch biến trên khoảng (– ∞; – 2) và đồng biến trên khoảng (– 2; + ∞).

d) y = 2x² + 2x + 1 là hàm số bậc hai nên đồ thị là một parabol. 

Hệ số a = 2 > 0 nên bề lõm của đồ thị quay lên trên. 

Parabol trên có: 

+ Tọa độ đỉnh I$\left(-\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right)$;

+ Trục đối xứng x = $-\frac{1}{2}$; 

+ Cắt trục Oy tại điểm A(0; 1).

+ Điểm đối xứng với A qua trục đối xứng x = $-\frac{1}{2}$ là B(– 1; 1);

+ Lấy điểm C(1; 5) thuộc đồ thị, điểm đối xứng với C qua trục đối xứng x =$-\frac{1}{2}$ là D(– 2; 5). 

Vẽ đường cong đi qua các điểm đã cho ta được đồ thị cần vẽ. 

Quan sát đồ thị ta thấy:

+ Tập giá trị của hàm số là $\left[\frac{1}{2};+\infty \right)$.

+ Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left(-\infty ;-\frac{1}{2}\right)$ và đồng biến trên khoảng $\left(-\frac{1}{2};+\infty \right)$.

Bài 6.31 trang 28 Toán 10 Tập 2: Xác định parabol (P): y = ax² + bx + 3 trong mỗi trường hợp sau: 

a) (P) đi qua hai điểm A(1; 1) và B(– 1; 0);

b) (P) đi qua điểm M(1; 2) và nhận đường thẳng x = 1 làm trục đối xứng; 

c) (P) có đỉnh là I(1; 4). 

Lời giải:

Điều kiện: a ≠ 0.

a) (P) đi qua điểm A(1; 1) nên tọa độ điểm A thỏa mãn hàm số y = ax² + bx + 3, do đó ta có: 1 = a . 1² + b . 1 + 3 ⇔ a + b = – 2 ⇔  a = – 2 – b (1a). 

(P) đi qua điểm B(– 1; 0) nên tọa độ điểm B thỏa mãn hàm số y = ax² + bx + 3, do đó ta có: 0 = a . (– 1)² + b . (– 1) + 3 ⇔ a – b = – 3 ⇔  a = – 3 + b (2a).

Từ (1a) và (2a) suy ra: – 2 – b = – 3 + b ⇔ 2b = 1 ⇔ b = $\frac{1}{2}$. 

Suy ra: a = – 2 – $\frac{1}{2}$= $-\frac{5}{2}$. 

Vậy phương trình parabol (P): $y=-\frac{5}{2}{x}^2+\frac{1}{2}x+3$. 

b) (P) đi qua điểm M(1; 2) nên tọa độ điểm M thỏa mãn hàm số y = ax² + bx + 3, do đó ta có: 2 = a . 1² + b . 1 + 3 ⇔ a + b = – 1 ⇔  a = – 1 – b                                (1b).

(P) nhận đường thẳng x = 1 làm trục đối xứng nên $\frac{-b}{2a}=1\iff 2a=-b\iff a=-\frac{1}{2}b$ (2b).

Từ (1b) và (2b) suy ra: $-1-b=-\frac{1}{2}b\iff \frac{1}{2}b=-1\iff b=-2$.  

Suy ra a = – 1 – (– 2) = 1. 

Vậy phương trình parabol (P): y = x² – 2x + 3. 

c) (P) có đỉnh là I(1; 4) hay (P) đi qua điểm I(1; 4) nên tọa độ điểm I thỏa mãn hàm số y = ax² + bx + 3, do đó ta có: 4 = a . 1² + b . 1 + 3 ⇔ a + b = 1 ⇔ a = 1 – b    (1c).

Vì I là đỉnh của (P) nên $\frac{-b}{2a}=1\iff 2a=-b\iff a=-\frac{1}{2}b$ (2c). 

Từ (1c) và (2c) suy ra: 1 – b = $\iff \frac{1}{2}b=1\iff b=2$. 

Suy ra a = 1 – b = 1 – 2 = – 1. 

Vậy phương trình parabol (P): y = – x² + 2x + 3. 

Bài 6.32 trang 28 Toán 10 Tập 2: Giải các bất phương trình sau: 

a) 2x² – 3x + 1 > 0; 

b) x² + 5x + 4 < 0; 

c) – 3x² + 12x – 12 ≥ 0; 

d) 2x² + 2x + 1 < 0. 

Lời giải:

a) Tam thức bậc hai f(x) = 2x² – 3x + 1 có ∆ = (– 3)² – 4 . 2 . 1 = 1 > 0  nên f(x) có hai nghiệm x₁ = $\frac{1}{2}$ và x₂ = 1. 

Mặt khác hệ số a = 2 > 0, do đó ta có bảng xét dấu sau: 

Suy ra bất phương trình đã cho có tập nghiệm là S = $\left(-\infty ;\frac{1}{2}\right)\cup \left(1;+\infty \right)$. 

b) Tam thức bậc hai f(x) = x² + 5x + 4 có ∆ = 5² – 4 . 1 . 4 = 9 > 0 nên f(x) có hai nghiệm x₁ = – 4 và x₂ = – 1. 

Mặt khác hệ số a = 1 > 0, do đó ta có bảng xét dấu sau: 

Vậy bất phương đã cho có tập nghiệm là S = (– 4; – 1). 

c) Tam thức bậc hai f(x) = – 3x² + 12x – 12 có ∆' = 6² – (– 3) . (– 12) = 0 nên f(x) có nghiệm kép x = 2. Lại có hệ số a = – 3 < 0 nên f(x) luôn âm (cùng dấu với a) với mọi x ≠ 2. 

Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 2. 

d) Tam thức bậc hai f(x) = 2x² + 2x + 1 có ∆' = 1² – 2 . 1 = – 1 < 0, hệ số a = 2 > 0 nên f(x) luôn dương (cùng dấu với a) với mọi x, tức là 2x² + 2x + 1 > 0 với mọi $x\in ℝ$. 

Vậy bất phương trình đã cho vô nghiệm. 

Bài 6.33 trang 29 Toán 10 Tập 2: Giải các phương trình sau: 

a) $\sqrt{2x^2-14}=x-1$; 

b) $\sqrt{-x^2-5x+2}=\sqrt{x^2-2x-3}$. 

Lời giải:

a) $\sqrt{2x^2-14}=x-1$

Bình phương hai vế của phương trình trên ta được

2x² – 14 = x² – 2x + 1 

⇔ x²+ 2x – 15 = 0 

⇔ x = – 5 hoặc x = 3. 

Lần lượt thay các giá trị này vào phương trình đã cho, ta thấy x = 3 thỏa mãn. 

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x = 3. 

b) $\sqrt{-x^2-5x+2}=\sqrt{x^2-2x-3}$

Bình phương hai vế của phương trình trên ta được: 

– x² – 5x + 2 = x² – 2x – 3 

⇔ 2x² + 3x – 5 = 0 

⇔ x = $-\frac{5}{2}$ hoặc x = 1.

Lần lượt thay các giá trị này vào phương trình đã cho, ta thấy chỉ có x = $-\frac{5}{2}$ thỏa mãn. 

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x = $-\frac{5}{2}$. 

Bài 6.34 trang 29 Toán 10 Tập 2: Một công ty bắt đầu sản xuất và bán một loại máy tính xách tay từ năm 2018. Số lượng loại máy tính đó bán được trong hai năm liên tiếp 2018 và 2019 lần lượt là 3,2 nghìn và 4 nghìn chiếc. Theo nghiên cứu dự báo thị trường của công ty, trong khoảng 10 năm kể từ năm 2018, số lượng máy tính loại đó bán được mỗi năm có thể được mô tả bởi một hàm số bậc hai. 

Giả sử t là thời gian (theo đơn vị năm) tính từ năm 2018. Số lượng loại máy tính đó bán được trong năm 2018 và năm 2019 lần lượt được biểu diễn bởi các điểm (0; 3,2) và (1; 4). Giả sử điểm (0; 3,2) là đỉnh đồ thị của hàm số bậc hai này. 

a) Lập công thức của hàm số mô tả số lượng máy tính xách tay bán được qua từng năm. 

b) Tính số lượng máy tính xách tay đó bán được trong năm 2024. 

c) Đến năm bao nhiêu thì số lượng máy tính xách tay đó bán được trong năm sẽ vượt mức 52 nghìn chiếc? 

Lời giải:

a) Giả sử hàm số cần lập có dạng y = f(t) = at²+ bt + c, với a, b, c là các số thực, a ≠ 0. 

Trong đó, t là thời gian (theo đơn vị năm) tính từ năm 2018 nên t > 0 và ta quy ước tại năm 2018 thì t = 0, năm 2019 thì t = 1, tương tự cho các năm sau và f(t) là số lượng máy tính bán ra qua từng năm.

Số lượng loại máy tính đó bán được trong năm 2018 và năm 2019 lần lượt được biểu diễn bởi các điểm (0; 3,2) và (1; 4). Do đó đồ thị hàm số y = f(t) = at² + bt + c đi qua các điểm (0; 3,2) và (1; 4) nên ta có: 

3,2 = a . 0² + b . 0 + c ⇔ c = 3,2

Và 4 = a . 1² + b . 1 + c ⇔ a + b + 3,2 = 4 ⇔ a + b = 0,8 ⇔ a = 0,8 – b (1). 

Lại có đồ thị hàm số trên có đỉnh là (0; 3,2) nên $-\frac{b}{2a}=0\Rightarrow b=0$ (do a ≠ 0). 

Thay vào (1) ta có: a = 0,8 – 0 = 0,8. 

Vậy ta có hàm số: y = f(t) = 0,8t² + 3,2. 

b) Đến năm 2024 thì loại máy tính trên đã bán ra được số năm là: 2024 – 2018 = 6 (năm). Do đó t = 6. 

Suy ra: f(6) = 0,8 . 6² + 3,2 = 32. 

Vậy trong năm 2024 số lượng máy tính bán ra được là 32 nghìn chiếc. 

c) Số lượng máy tính xách tay bán ra được trong năm vượt mức 52 nghìn chiếc nghĩa là f(t) > 52 hay 0,8t² + 3,2 > 52 ⇔ t² > 61 ⇔ t < $-\sqrt{61}$ hoặc t >$\sqrt{61}$. 

Mà t > 0 nên t > $\sqrt{61}$≈ 7,8. 

Do đó trong năm thứ 8 kể từ khi bắt đầu bán thì số lượng máy tính bán ra được trong năm sẽ vượt mức 52 nghìn chiếc và đó chính là năm 2018 + 8 = 2026. 

Vậy trong năm 2026 thì số lượng máy tính xách tay đó bán được trong năm sẽ vượt mức 52 nghìn chiếc. 

Xem thêm lời giải bài tập SGK Toán lớp 10 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Bài 19: Phương trình đường thẳng

Bài 20: Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng. Góc và khoảng cách

Bài 21: Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ

Bài 22: Ba đường conic

Bài tập cuối chương 7 trang 58, 59