Cho hình thoi ABCD với cạnh có độ dài bằng 1 và góc BAD=120°. Tính độ dài của các vectơ CB+CD, DB+CD+BA

Luyện tập 1 trang 52 Toán 10 Tập 1: Cho hình thoi ABCD với cạnh có độ dài bằng 1 và $\widehat{BAD}=120°$. Tính độ dài của các vectơ $\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CD},\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{BA}$

Trả lời

+ Tứ giác ABCD là hình thoi nên ABCD cũng là hình bình hành

Do đó $\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{CA}$ (quy tắc hình bình hành)

$\Rightarrow \left|\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CD}\right|=\left|\overrightarrow{CA}\right|=CA$

ABCD là hình thoi nên AB = BC và AC là tia phân giác $\widehat{BAD}$ (tính chất hình thoi)

$\Rightarrow \widehat{BAC}=\widehat{CAD}=\frac{\widehat{BAD}}{2}$$=\frac{120°}{2}=60°$

Xét ΔABC có AB = BC và $\widehat{BAC}=60°$ 

⇒ ΔABC đều

⇒ AC = AB = BC = 1

Suy ra $\left|\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CD}\right|=1.$

+ Ta có:

$$\begin{gathered} \overrightarrow{DB}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{BA} \\ =\left(\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DB}\right)+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{CA} \end{gathered}$$

 (quy tắc ba điểm).

$\Rightarrow \left|\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{BA}\right|=\left|\overrightarrow{CA}\right|=CA=1$

Vậy độ dài của các vectơ $\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CD}$ và $\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{BA}$ đều bằng 1.

Xem thêm lời giải bài tập SGK Toán lớp 10 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Bài tập cuối chương 3

Bài 7: Các khái niệm mở đầu

Bài 8: Tổng và hiệu của hai vectơ

Bài 9: Tích của một vecto với một số

Bài 10: Vectơ trong mặt phẳng tọa độ

Bài 11: Tích vô hướng của hai vecto