Cho tam giác ABC nhọn có các đường cao BD,CE. Tia phân giác của các góc ACE,ABD cắt nhau tại O và cắt AB,AC lần lượt tại M,N
345
01/11/2023
Bài 28 trang 100 SBT Toán 8 Tập 1: Cho tam giác ABC nhọn có các đường cao BD,CE. Tia phân giác của các góc ACE,ABD cắt nhau tại O và cắt AB,AC lần lượt tại M,N. Tia BN cắt CE tại K, tia CM cắt BD tại H. Chứng minh:
a) BN⊥CM
b) Tứ giác MNHK là hình thoi.
Trả lời
a) Do tam giác ABD vuông tại D và tam giác ACE vuông tại E nên ^ABD+ˆA=^ACE+ˆA=90∘. Suy ra ^ABD=^ACE.
Mà BN và CM lần lượt là tia phân giác của ^ABD và ^ACE, suy ra ^ABN=^DBN=^ACM=^ECM.
Do tam giác CEM vuông tại E nên ^ECM+^EMC=90∘
Suy ra ^ABN+^EMC=90∘ hay ^MBO+^BMO=90∘.
Do đó ta tính được ^BOM=90∘. Vậy BN⊥CM.
b) ΔBMO=ΔBHO (cạnh góc vuông – góc nhọn kề). Suy ra OM=OH
ΔCNO=ΔCKO (cạnh góc vuông – góc nhọn kề). Suy ra ON=OK.
Tứ giác MNHK có hai đường chéo MH và NK cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đường nên MNHK là hình bình hành.
Hình bình hành MNHK có MH⊥NK nên MNHK là hình thoi.
Xem thêm các bài giải SBT Toán 8 Cánh diều hay, chi tiết khác:
Bài 3: Hình thang cân
Bài 4: Hình bình hành
Bài 5: Hình chữ nhật
Bài 6: Hình thoi
Bài 7: Hình vuông
Bài tập cuối chương 5 trang 103