Giải SBT Toán 11 (Cánh diều) Bài 2: Các phép biến đổi lượng giác

Giải SBT Toán 11 Bài 2: Các phép biến đổi lượng giác

Bài 15 trang 14 SBT Toán 11 Tập 1: Cho hai góc a và b với tan a = $\frac{1}{7}$  và tanb = $\frac{3}{4}.$  Khi đó, tan(a + b) bằng:

A. 1.

B. $-\frac{17}{31}$ .

C. $\frac{17}{31}$ .

D. – 1.

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có $\tan \left(a+b\right)=\frac{\tan a+\tan b}{1-\tan a.\tan b}=\frac{\frac{1}{7}+\frac{3}{4}}{1-\frac{1}{7}.\frac{3}{4}}=\frac{\frac{25}{28}}{\frac{25}{28}}=1$ .

Bài 16 trang 14 SBT Toán 11 Tập 1: Nếu $\sin \alpha =\frac{1}{\sqrt{3}}$  với $0<\alpha <\frac{\pi }{2}$  thì giá trị của $\cos \left(\alpha +\frac{\pi }{3}\right)$  bằng:

A. $\frac{\sqrt{6}}{6}-\frac{1}{2}$ .

B. $\sqrt{6}-3$ .

C. $\frac{\sqrt{6}}{6}-3$ .

D. $\sqrt{6}-\frac{1}{2}$.

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Vì $0<\alpha <\frac{\pi }{2}$ nên cos α > 0, do đó từ sin² α + cos² α = 1, suy ra

$\cos \alpha =\sqrt{1-{\sin }^2\alpha }=\sqrt{1-{\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)}^2}=\frac{\sqrt{6}}{3}$.

Ta có $\cos \left(\alpha +\frac{\pi }{3}\right)$$=\cos \alpha \cos \frac{\pi }{3}-\sin \alpha \sin \frac{\pi }{3}$$=\frac{\sqrt{6}}{3}.\frac{1}{2}-\frac{1}{\sqrt{3}}.\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{6}}{6}-\frac{1}{2}$ .

Bài 17 trang 14 SBT Toán 11 Tập 1: Nếu $\sin \alpha =\frac{2}{3}$  thì giá trị của biểu thức $P=\left(1-3\cos 2\alpha \right)\left(2+3\cos 2\alpha \right)$  bằng:

A. $\frac{11}{9}$ .

B. $\frac{12}{9}$ .

C. $\frac{13}{9}$ .

D. $\frac{14}{9}$ .

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Ta có $P=\left(1-3\cos 2\alpha \right)\left(2+3\cos 2\alpha \right)$

Bài 18 trang 15 SBT Toán 11 Tập 1: Chọn đẳng thức đúng trong các đẳng thức sau:

A. ${\sin }^{4}x+{\cos }^{4}x=\frac{3-\cos 4x}{4}$ .

B. ${\sin }^{4}x+{\cos }^{4}x=\frac{3+\cos 4x}{4}$ .

C. ${\sin }^{4}x+{\cos }^{4}x=\frac{3+\cos 4x}{2}$ .

D. ${\sin }^{4}x+{\cos }^{4}x=\frac{3-\cos 4x}{2}$ .

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có sin⁴ x + cos⁴ x = 1 – 2sin² x cos² x (theo Bài 9a)

= 1 – 2 (sin x cos x)² = $1-2{\left(\frac{\sin 2x}{2}\right)}^2=1-2.\frac{{\sin }^{2}2x}{4}=1-\frac{2\left(1-{\cos }^{2}2x\right)}{4}$

$=1-\frac{2-2{\cos }^{2}2x}{4}=\frac{4-2+2{\cos }^{2}2x}{4}$$=\frac{3+\left(2{\cos }^{2}2x-1\right)}{4}=\frac{3+\cos 4x}{4}$.

Vậy ${\sin }^{4}x+{\cos }^{4}x=\frac{3+\cos 4x}{4}$ .

Bài 19 trang 15 SBT Toán 11 Tập 1: Rút gọn biểu thức cos(120° – x) + cos(120° + x) – cos x ta được kết quả là:

A. – 2cos x.

B. – cos x.

C. 0.

D. sin x – cos x.

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có cos(120° – x) + cos(120° + x) – cos x

= cos 120° cos x + sin 120° sin x + cos 120° cos x – sin 120° sin x – cos x

= 2 cos 120° cos x – cos x

= 2 . $\left(-\frac{1}{2}\right)$  . cos x – cos x

= – cos x – cos x

= – 2 cos x.

Bài 20 trang 15 SBT Toán 11 Tập 1: Nếu $\cos a=\frac{3}{4}$  thì giá trị của $\cos \frac{a}{2}\cos \frac{a}{2}$  bằng:

A. $\frac{23}{16}$ .

B. $\frac{7}{8}$ .

C. $\frac{7}{16}$ .

D. $\frac{23}{8}$ .

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có $\cos \frac{a}{2}\cos \frac{a}{2}={\cos }^2\frac{a}{2}=\frac{1+\cos 2.\frac{a}{2}}{2}=\frac{1+\cos a}{2}=\frac{1+\frac{3}{4}}{2}=\frac{7}{8}$ .

Bài 21 trang 15 SBT Toán 11 Tập 1: Nếu $\cos a=\frac{\sqrt{5}}{3}$  thì giá trị của biểu thức $A=4\sin \left(a+\frac{\pi }{3}\right)\sin \left(a-\frac{\pi }{3}\right)$  bằng:

A. $-\frac{11}{9}$ .

B. $\frac{11}{9}$ .

C. $-\frac{1}{9}$ .

D. $\frac{1}{9}$ .

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có $A=4\sin \left(a+\frac{\pi }{3}\right)\sin \left(a-\frac{\pi }{3}\right)$

$=-2\left(\cos 2a-\cos \frac{2\pi }{3}\right)$

Bài 22 trang 15 SBT Toán 11 Tập 1: Nếu $\cos a=\frac{1}{3},\sin b=\frac{-2}{3}$  thì giá trị cos(a + b) cos(a − b) bằng:

A. $-\frac{2}{3}$ .

B. $\frac{1}{3}$ .

C. $\frac{2}{3}$ .

D. $-\frac{1}{3}$ .

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Ta có cos(a + b) cos(a − b)  

$=\frac{1}{2}\left(\cos 2a+\cos 2b\right)$

Bài 23 trang 15 SBT Toán 11 Tập 1: Giá trị của biểu thức $P=\frac{\sin \frac{\pi }{9}+\sin \frac{5\pi }{9}}{\cos \frac{\pi }{9}+\cos \frac{5\pi }{9}}$  bằng:

A. $\frac{1}{\sqrt{3}}$ .

B. $-\frac{1}{\sqrt{3}}$ .

C. $\sqrt{3}$ .

D. $-\sqrt{3}$ .                                                                     

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Ta có $P=\frac{\sin \frac{\pi }{9}+\sin \frac{5\pi }{9}}{\cos \frac{\pi }{9}+\cos \frac{5\pi }{9}}$$=\frac{2\sin \frac{\frac{\pi }{9}+\frac{5\pi }{9}}{2}\cos \frac{\frac{\pi }{9}-\frac{5\pi }{9}}{2}}{2\cos \frac{\frac{\pi }{9}+\frac{5\pi }{9}}{2}\cos \frac{\frac{\pi }{9}-\frac{5\pi }{9}}{2}}$

$=\frac{\sin \frac{\pi }{3}\cos \left(-\frac{2\pi }{9}\right)}{\cos \frac{\pi }{3}\cos \left(-\frac{2\pi }{9}\right)}=\frac{\sin \frac{\pi }{3}}{\cos \frac{\pi }{3}}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}}=\sqrt{3}$.

Bài 24 trang 15 SBT Toán 11 Tập 1: Rút gọn biểu thức $A=\frac{\sin x+\sin 2x+\sin 3x}{\cos x+\cos 2x+\cos 3x}$  ta được kết quả là:

A. tan x. 

B. tan 3x.

C. tan 2x.

D. tan x + tan 2x + tan 3x.

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Ta có $A=\frac{\sin x+\sin 2x+\sin 3x}{\cos x+\cos 2x+\cos 3x}$ $=\frac{\left(\sin x+\sin 3x\right)+\sin 2x}{\left(\cos x+\cos 3x\right)+\cos 2x}$

$=\frac{2\sin \frac{x+3x}{2}\cos \frac{x-3x}{2}+\sin 2x}{2\cos \frac{x+3x}{2}\cos \frac{x-3x}{2}+\cos 2x}$ $=\frac{2\sin 2x\cos \left(-x\right)+\sin 2x}{2\cos 2x\cos \left(-x\right)+\cos 2x}$

$=\frac{\sin 2x\left(2\cos x+1\right)}{\cos 2x\left(2\cos x+1\right)}=\frac{\sin 2x}{\cos 2x}=\tan 2x$.

Bài 25 trang 15 SBT Toán 11 Tập 1: Cho $\sin a=\frac{2}{3}$  với $\frac{\pi }{2}<a<\pi$ . Tính:

a) cos a, tan a;

b) $\sin \left(a+\frac{\pi }{4}\right),\cos \left(a-\frac{5\pi }{6}\right),\tan \left(a+\frac{2\pi }{3}\right)$ ;

c) sin 2a, cos 2a.

Lời giải:

a) Vì $\frac{\pi }{2}<a<\pi$  nên cos a < 0, do đó từ sin² a + cos² a = 1, suy ra

$\cos a=-\sqrt{1-{\sin }^{2}a}=-\sqrt{1-{\left(\frac{2}{3}\right)}^2}=-\frac{\sqrt{5}}{3}$.

Ta có $\tan a=\frac{\sin a}{\cos a}=\frac{\frac{2}{3}}{-\frac{\sqrt{5}}{3}}=-\frac{2\sqrt{5}}{5}$.

b) $\sin \left(a+\frac{\pi }{4}\right)$$=\sin a\cos \frac{\pi }{4}+\cos a\sin \frac{\pi }{4}$$=\frac{2}{3}.\frac{\sqrt{2}}{2}+\left(-\frac{\sqrt{5}}{3}\right).\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{2\sqrt{2}-\sqrt{10}}{6}$ .

$\cos \left(a-\frac{5\pi }{6}\right)$$=\cos a\cos \frac{5\pi }{6}+\sin a\sin \frac{5\pi }{6}$$=\left(-\frac{\sqrt{5}}{3}\right).\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)+\frac{2}{3}.\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{15}+2}{6}$.

$\tan \left(a+\frac{2\pi }{3}\right)$$=\frac{\tan a+\tan \frac{2\pi }{3}}{1-\tan a\tan \frac{2\pi }{3}}=\frac{-\frac{2\sqrt{5}}{5}+\left(-\sqrt{3}\right)}{1-\left(-\frac{2\sqrt{5}}{5}\right).\left(-\sqrt{3}\right)}=\frac{8\sqrt{5}+9\sqrt{3}}{7}$.

c) $\sin 2a=2\sin a\cos a=2.\frac{2}{3}.\left(-\frac{\sqrt{5}}{3}\right)=-\frac{4\sqrt{5}}{9}$ .

$\cos 2a=2{\cos }^{2}a-1=2.{\left(-\frac{\sqrt{5}}{3}\right)}^2-1=\frac{1}{9}$.

Bài 26 trang 15 SBT Toán 11 Tập 1: Cho cos a = 0,2 với π < a < 2π. Tính $\sin \frac{a}{2}$ , $\cos \frac{a}{2}$ , $\tan \frac{a}{2}$ .

Lời giải:

Do π < a < 2π nên $\frac{\pi }{2}<\frac{a}{2}<\pi$ . Suy ra $\sin \frac{a}{2}>\mathrm{0,}\cos \frac{a}{2}<0$ .

Ta có: ${\sin }^2\frac{a}{2}=\frac{1-\cos a}{2}=\frac{1-\mathrm{0,2}}{2}=\mathrm{0,4}$ , suy ra $\sin \frac{a}{2}=\frac{\sqrt{10}}{5}$ .

Do đó, $\cos \frac{a}{2}=-\sqrt{1-{\sin }^2\frac{a}{2}}=-\sqrt{1-{\left(\frac{\sqrt{10}}{5}\right)}^2}=-\frac{\sqrt{15}}{5}$ .

$\tan \frac{a}{2}=\frac{\sin \frac{a}{2}}{\cos \frac{a}{2}}=\frac{\frac{\sqrt{10}}{5}}{-\frac{\sqrt{15}}{5}}=-\frac{\sqrt{6}}{3}$.

Bài 27 trang 15 SBT Toán 11 Tập 1: Cho $\tan \frac{a}{2}=\frac{1}{\sqrt{2}}$ . Tính sin a, cos a, tan a.

Lời giải:

Ta có $\sin a=2\sin \frac{a}{2}\cos \frac{a}{2}=\frac{2\sin \frac{a}{2}\cos \frac{a}{2}}{{\sin }^2\frac{a}{2}+{\cos }^2\frac{a}{2}}$    (do ${\sin }^2\frac{a}{2}+{\cos }^2\frac{a}{2}=1$ )

$=\frac{2\tan \frac{a}{2}}{{\tan }^2\frac{a}{2}+1}=\frac{2.\frac{1}{\sqrt{2}}}{{\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)}^2+1}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$.    

$\cos a={\cos }^2\frac{a}{2}-{\sin }^2\frac{a}{2}=\frac{{\cos }^2\frac{a}{2}-{\sin }^2\frac{a}{2}}{{\sin }^2\frac{a}{2}+{\cos }^2\frac{a}{2}}$$=\frac{1-{\tan }^2\frac{a}{2}}{{\tan }^2\frac{a}{2}+1}=\frac{1-{\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)}^2}{{\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)}^2+1}=\frac{1}{3}$.

$\tan a=\frac{\sin a}{\cos a}=\frac{\frac{2\sqrt{2}}{3}}{\frac{1}{3}}=2\sqrt{2}$.

Bài 28 trang 16 SBT Toán 11 Tập 1: Cho cos(a + 2b) = 2cos a. Chứng minh rằng: tan(a + b) tan b = $\frac{-1}{3}$ .  

Lời giải:

Ta có cos(a + 2b) = 2cos a

⇔ cos[(a + b) + b] = 2cos[(a + b) – b]

⇔ cos(a + b) . cos b – sin(a + b) . sin b = 2[cos(a + b) . cos b + sin(a + b) . sin b]

⇔ cos(a + b) . cos b – 2 cos(a + b) . cos b = 2 sin(a + b) . sin b + sin(a + b) . sin b

⇔ – cos(a + b) . cos b = 3 sin(a + b) . sin b

⇔ sin(a + b) . sin b = $-\frac{1}{3}$  cos(a + b) . cos b

$\iff \frac{\sin \left(a+b\right)\sin b}{\cos \left(a+b\right)\cos b}=-\frac{1}{3}$

⇔ tan(a + b) tan b = $\frac{-1}{3}$ . 

Bài 29 trang 16 SBT Toán 11 Tập 1: Cho tam giác ABC, chứng minh rằng:

a) tan A + tan B + tan C = tan A . tan B . tan C (với điều kiện tam giác ABC không vuông);

b) $\tan \frac{A}{2}.\tan \frac{B}{2}+\tan \frac{B}{2}.\tan \frac{C}{2}+\tan \frac{C}{2}.\tan \frac{A}{2}=1$ .

Lời giải:

a) Vì tam giác ABC không vuông nên A, B, C khác $\frac{\pi }{2}$ , do đó tan A, tan B, tan C xác định.

Do A + B + C = π nên A + B = π – C, do đó tan(A + B) = tan(π – C) = tan(– C) = – tanC.

Mà $\tan \left(A+B\right)=\frac{\tan A+\tan B}{1-\tan A\tan B}$ .

Khi đó $\frac{\tan A+\tan B}{1-\tan A\tan B}=-\tan C$

⇔ tan A + tan B = – tan C . (1 – tan A . tan B)

⇔ tan A + tan B = – tan C + tan A . tan B . tan C

⇔ tan A + tan B + tan C = tan A . tan B . tan C.

b) Ta có $\frac{A+B+C}{2}=\frac{\pi }{2}$ , suy ra $\frac{A}{2}+\frac{B}{2}=\frac{\pi }{2}-\frac{C}{2}$  nên $\tan \left(\frac{A}{2}+\frac{B}{2}\right)=\cot \frac{C}{2}$

$\iff \frac{\tan \frac{A}{2}+\tan \frac{B}{2}}{1-\tan \frac{A}{2}.\tan \frac{B}{2}}=\frac{1}{\tan \frac{C}{2}}$

$\iff \left(\tan \frac{A}{2}+\tan \frac{B}{2}\right)\tan \frac{C}{2}=1-\tan \frac{A}{2}.\tan \frac{B}{2}$

$\iff \tan \frac{A}{2}.\tan \frac{C}{2}+\tan \frac{B}{2}.\tan \frac{C}{2}+\tan \frac{A}{2}.\tan \frac{B}{2}=1$

$\iff \tan \frac{A}{2}.\tan \frac{B}{2}+\tan \frac{B}{2}.\tan \frac{C}{2}+\tan \frac{C}{2}.\tan \frac{A}{2}=1$.

Bài 30 trang 16 SBT Toán 11 Tập 1: Trên một mảnh đất hình vuông ABCD, bác An đặt một chiếc đèn pin tại vị trí A chiếu chùm sáng phân kì sang phía góc C. Bác An nhận thấy góc chiếu sáng của đèn pin giới hạn bởi hai tia AM và AN, ở đó các điểm M, N lần lượt thuộc các cạnh BC, CD sao cho BM = $\frac{1}{2}$BC, DN = $\frac{1}{3}$DC (Hình 4).

a) Tính $\tan \left(\widehat{BAM}+\widehat{DAN}\right)$ .

b) Góc chiếu sáng của đèn pin bằng bao nhiêu độ?

Hình 4

Lời giải:

a) Trong tam giác vuông ABM, có $\tan \widehat{BAM}=\frac{BM}{BA}=\frac{1}{2}$ .

Trong tam giác vuông ADN, có $\tan \widehat{DAN}=\frac{DN}{AD}=\frac{DN}{DC}=\frac{1}{3}$ .

Do đó, $\tan \left(\widehat{BAM}+\widehat{DAN}\right)$$=\frac{\tan \widehat{BAM}+\tan \widehat{DAN}}{1-\tan \widehat{BAM}.\tan \widehat{DAN}}$$=\frac{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}}{1-\frac{1}{2}.\frac{1}{3}}=1$ .

b) Từ câu a) ta có $\tan \left(\widehat{BAM}+\widehat{DAN}\right)$  = 1 nên $\widehat{BAM}+\widehat{DAN}=45°$ .

Suy ra $\widehat{MAN}=\widehat{BAD}-\left(\widehat{BAM}+\widehat{DAN}\right)=90°-45°=45°$ .

Vậy góc chiếu sáng của đèn pin bằng 45°.