Trên một mảnh đất hình vuông ABCD, bác An đặt một chiếc đèn pin tại vị trí A chiếu chùm

Bài 30 trang 16 SBT Toán 11 Tập 1: Trên một mảnh đất hình vuông ABCD, bác An đặt một chiếc đèn pin tại vị trí A chiếu chùm sáng phân kì sang phía góc C. Bác An nhận thấy góc chiếu sáng của đèn pin giới hạn bởi hai tia AM và AN, ở đó các điểm M, N lần lượt thuộc các cạnh BC, CD sao cho BM = $\frac{1}{2}$BC, DN = $\frac{1}{3}$DC (Hình 4).

a) Tính $\tan \left(\widehat{BAM}+\widehat{DAN}\right)$ .

b) Góc chiếu sáng của đèn pin bằng bao nhiêu độ?

Hình 4

Trả lời

a) Trong tam giác vuông ABM, có $\tan \widehat{BAM}=\frac{BM}{BA}=\frac{1}{2}$ .

Trong tam giác vuông ADN, có $\tan \widehat{DAN}=\frac{DN}{AD}=\frac{DN}{DC}=\frac{1}{3}$ .

Do đó, $\tan \left(\widehat{BAM}+\widehat{DAN}\right)$$=\frac{\tan \widehat{BAM}+\tan \widehat{DAN}}{1-\tan \widehat{BAM}.\tan \widehat{DAN}}$$=\frac{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}}{1-\frac{1}{2}.\frac{1}{3}}=1$ .

b) Từ câu a) ta có $\tan \left(\widehat{BAM}+\widehat{DAN}\right)$  = 1 nên $\widehat{BAM}+\widehat{DAN}=45°$ .

Suy ra $\widehat{MAN}=\widehat{BAD}-\left(\widehat{BAM}+\widehat{DAN}\right)=90°-45°=45°$ .

Vậy góc chiếu sáng của đèn pin bằng 45°.