Giải SBT Toán 11 Bài 1: Dãy số
A. 2; 1; 32 .
B. 2; 32; 52 .
C. 2; 32; 54 .
D. 2;32 ; 2.
Lời giải:
Đáp án đúng là: C
Ta có: u1 = 2; u2=u1+12=2+12=32 ; u3=u2+12=32+12=54 .
Bài 2 trang 45 SBT Toán 11 Tập 1: Cho dãy số (un) biết un=2n2−1n2+2 . Số hạng u10 là:
A. 1912 .
B. 3334 .
C. 199102 .
D. 34 .
Lời giải:
Đáp án đúng là: C
Ta có u10=2.102−1102+2=199102 .
A. 8.
B. 7.
C. 9.
D. 6.
Lời giải:
Đáp án đúng là: B
Giả sử uk=819 là một số hạng của dãy số (un).
Khi đó k ∈ ℕ* và uk=k+13k−2=819 , suy ra 19(k + 1) = 8(3k – 2)
⇔ 19k + 19 = 24k – 16
⇔ 24k – 19k = 19 + 16
⇔ 5k = 35
⇔ k = 7 (t/m).
Vậy k = 7.
Bài 4 trang 45 SBT Toán 11 Tập 1: Cho dãy số (un) biết un = 3n. Số hạng un + 1 bằng:
A. 3n . 3.
B. 3n + 3.
C. 3n + 1.
D. 3(n + 1).
Lời giải:
Đáp án đúng là: A
Ta có un + 1 = 3n + 1 = 3n . 31 = 3n . 3.
Bài 5 trang 45 SBT Toán 11 Tập 1: Trong các dãy số (un) được xác định như sau, dãy số giảm là:
A. un=3n−1n+1 .
B. un = n3.
C. un=13n+1 .
D. un=√n .
Lời giải:
Đáp án đúng là: C
Xét đáp án C, ta có:
un+1−un=13n+1+1−13n+1=13n+2−13n+1
=3n+1−3n+23n+1.3n+2=3.3n−9.3n3n+1.3n+2=−6.3n3n+1.3n+2<0 với mọi n ∈ ℕ*.
Suy ra un + 1 – un < 0, tức là un + 1 < un.
Vậy dãy số (un) với un=13n+1 là dãy số giảm.
Bài 6 trang 45 SBT Toán 11 Tập 1: Cho dãy số (un) biết un = cos n. Dãy số (un) là:
A. Dãy số tăng.
B. Dãy số giảm.
C. Dãy số bị chặn.
D. Dãy số bị chặn dưới, không bị chặn trên.
Lời giải:
Đáp án đúng là: C
Ta có – 1 ≤ cos n ≤ 1 với mọi n ∈ ℕ*.
Do đó, – 1 ≤ un ≤ 1 với mọi n ∈ ℕ*.
Khi đó dãy số (un) bị chặn trên bởi 1 và bị chặn dưới bởi – 1.
Vậy dãy số (un) là dãy số bị chặn.
Bài 7 trang 46 SBT Toán 11 Tập 1: Tính tổng 6 số hạng đầu của dãy số (un), biết un = 3n – 1.
Lời giải:
Ta có u1 = 3 . 1 – 1 = 2; u2 = 3 . 2 – 1 = 5;
u3 = 3 . 3 – 1 = 8; u4 = 3. 4 – 1 = 11;
u5 = 3 . 5 – 1 = 14; u6 = 3 . 6 – 1 = 17.
Do đó, u1 + u2 + u3 + u4 + u5 + u6 = 2 + 5 + 8 + 11 + 14 + 17 = 57.
Vậy tổng 6 số hạng đầu của dãy số (un) là 57.
Lời giải:
Năm số hạng đầu của dãy số (un) là: u1 = 2;
u2=√2+u21=√2+22=√6;
u3=√2+u22=√2+(√6)2=√8=2√2;
u4=√2+u23=√2+(2√2)2=√10;
u5=√2+u24=√2+(√10)2=√12=2√3.
Ta thấy 2=√2.(1+1) ; √6=√2.(2+1) ; √8=√2.(3+1) ;
√10=√2.(4+1); √12=√2.(5+1) .
Khi đó dự đoán công thức số hạng tổng quát của dãy số (un) là un=√2(n+1) .
Lời giải:
Với x = n, ta có yn=2n−12n2+1 , suy ra An(n; 2n−12n2+1) .
Vì dãy số (un) có un là tung độ của điểm An, do đó un=2n−12n2+1 .
Vẫy công thức của số hạng tổng quát là un=2n−12n2+1 .
Bài 10 trang 46 SBT Toán 11 Tập 1: Cho dãy số (un), biết
a) Viết bốn số hạng đầu của dãy số.
b) Chứng minh rằng un + 4 = un với mọi n ≥ 1.
c) Tính tổng 12 số hạng đầu của dãy số.
Lời giải:
a) Bốn số hạng đầu của dãy số (un) là:
Vậy un + 4 = un với mọi n ≥ 1.
c) Theo câu b) ta có un + 4 = un với mọi n ≥ 1.
Do đó, u1 = u5 = u9, u2 = u6 = u10, u3 = u7 = u11, u4 = u8 = u12.
Tổng 12 số hạng đầu của dãy số là:
u1 + u2 + u3 + u4 + ... + u12 = 3(u1 + u2 + u3 + u4)
= 3(√22+√22+−√22+−√22)=0 .
Bài 11 trang 46 SBT Toán 11 Tập 1: Xét tính tăng, giảm của mỗi dãy số (un), biết:
a) un = 2n + 3;
b) un = 3n – n;
c) un=√n2n ;
d) un = sin n.
Lời giải:
a) Ta có un + 1 = 2(n + 1) + 3 = 2n + 5.
Xét un + 1 – un = (2n + 5) – (2n + 3) = 2 > 0 với mọi n ∈ ℕ*.
Do đó, un + 1 > un với mọi n ∈ ℕ*.
Vậy dãy số (un) với un = 2n + 3 là dãy số tăng.
b) Ta có un + 1 = 3n + 1 – (n + 1) = 3 . 3n – n – 1.
Xét un + 1 – un = (3 . 3n – n – 1) – (3n – n) = 3 . 3n – 3n – 1 = 2 . 3n – 1 > 0 với mọi n ∈ ℕ*.
Do đó, un + 1 > un với mọi n ∈ ℕ*.
Vậy dãy số (un) với un = 3n – n là dãy số tăng.
c) Ta có un + 1 = √n+12n+1 = √n+12.2n .
Xét un+1−un=√n+12.2n−√n2n=√n+1−2√n2.2n =√n+1−√4n2.2n
=n+1−4n2.2n(√n+1+√4n)=−3n+12.2n(√n+1+√4n)<0 với mọi n ∈ ℕ*.
(do – 3n + 1 < 0, 2n > 0 và với mọi n ∈ ℕ*).
Do vậy, un + 1 < un với mọi n ∈ ℕ*.
Vậy dãy số (un) với un=√n2n là dãy số giảm.
Lời giải:
Ta có un+1=a(n+1)+2n+1+1=an+a+2n+2 .
Xét un+1−un=an+a+2n+2−an+2n+1=(an+a+2)(n+1)−(an+2)(n+2)(n+2)(n+1)
=an2+an+an+a+2n+2−an2−2an−2n−4(n+2)(n+1) =a−2(n+2)(n+1).
Để dãy số (un) là dãy số tăng thì un + 1 > un với mọi n ∈ ℕ* hay un + 1 – un > 0 với mọi n ∈ ℕ*, tức là a−2(n+2)(n+1)>0 với mọi n ∈ ℕ*.
Mà n + 2 > 0, n + 1 > 0 với mọi n ∈ ℕ*.
Nên a−2(n+2)(n+1)>0 ⇔ a – 2 > 0 ⇔ a > 2.
Vậy (un) là dãy số tăng khi a > 2.
Bài 13 trang 46 SBT Toán 11 Tập 1: Chứng minh rằng:
a) Dãy số (un) với un=√n2+1 bị chặn dưới;
b) Dãy số (un) với un = – n2 – n bị chặn trên;
c) Dãy số (un) với un=2n+1n+2 bị chặn.
Lời giải:
a) Ta có n2 ≥ 1 với mọi n ∈ ℕ*.
Do đó, √n2+1≥√1+1=√2 với mọi n ∈ ℕ*.
Vậy dãy số (un) với un=√n2+1 bị chặn dưới.
b) Ta có – n2 – n ≤ – 2 với mọi n ∈ ℕ*.
Do đó, dãy số (un) với un = – n2 – n bị chặn trên.
c) Ta có 2n+1n+2>0 với mọi n ∈ ℕ*. Do đó, dãy số (un) với un=2n+1n+2 bị chặn dưới. (1)
Lại có 2n+1n+2=2(n+2)−3n+2=2−3n+2<2 với mọi n ∈ ℕ*.
Do đó, dãy số (un) với un=2n+1n+2 bị chặn trên. (2)
Từ (1) và (2), suy ra dãy số (un) với un=2n+1n+2 bị chặn.
Lời giải:
Ta thấy đường tròn được chia thành n + 6 cung bằng nhau và mỗi cung có số đo bằng (360n+6)° . Do mỗi điểm được nối với điểm cách nó hai điểm trên đường tròn nên góc ở đỉnh của mỗi ngôi sao là góc nội tiếp chắn n + 6 – 2 . 3 = n cung bằng nhau đó. Suy ra số đo góc ở đỉnh tính theo đơn vị độ của mỗi ngôi sao là .
Xem thêm lời giải bài tập SBT Toán 11 Cánh diều hay, chi tiết khác: