Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai điểm A(1; 4) và C(9; 2) là hai đỉnh của hình vuông ABCD. Tìm toạ độ
195
11/01/2024
Bài 4.35 trang 65 SBT Toán 10 Tập 1:
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai điểm A(1; 4) và C(9; 2) là hai đỉnh của hình vuông ABCD. Tìm toạ độ các đỉnh B, D, biết rằng tung độ của B là một số âm.
Trả lời

Gọi I là giao điểm của AC và BD
Vì ABCD là hình vuông nên ta có: I là trung điểm của AC; AC = BD và AC ⊥ BD tại I.
• I là trung điểm của AC nên:
{xI=1+92=5yI=4+22=3Þ I(5; 3)
Giả sử B(x; y) (y < 0) và D(a; b)
Vì I là trung điểm của BD nên ta có:
{5=x+a23=y+b2⇒{a=10−xb=6−y ⇒ D(10 – x; 6 – y)
Với A(1; 4); C(9; 2); B(x; y) và D(10 – x; 6 – y) ta có:
→AC=(8;−2) và →BD=(10−2x;6−2y)
• AC ⊥ BD ⇔→AC⊥→BD⇔→AC.→BD=0
⇒ 8.(10 – 2x) + (–2).(6 – 2y) = 0
⇒ 80 – 16x – 12 + 4y = 0
⇒ 4y = 16x – 68
⇒ y = 4x – 17 (với y < 0)
• AC = BD ⇒ AC2 = BD2
⇒ 82 + (–2)2 = (10 – 2x)2 + (6 – 2y)2
⇒ 64 + 4 = (10 – 2x)2 + [6 – 2(4x – 17)]2
⇒ (10 – 2x)2 + (6 – 8x + 34)2 = 68
⇒ (10 – 2x)2 + (40 – 8x)2 = 68
⇒ 4.(x – 5)2 + 64.(x – 5)2 = 68
⇒ (x – 5)2 = 1
⇔[x−5=1x−5=−1
⇔[x=6x=4
Với x = 6 ta có y = 4.6 – 17 = 7 (không thỏa mãn y < 0)
Với x = 4 ta có y = 4.4 – 17 = –1 (thỏa mãn y < 0)
Khi đó ta có điểm B(4; –1)
Mà D(10 – x; 6 – y) nên D(6; 7).
Vậy B(4; –1) và D(6; 7).
Xem thêm các bài giải SBT Toán lớp 10 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:
Bài 9: Tích của một vectơ với một số
Bài 10: Vectơ trong mặt phẳng tọa độ
Bài 11: Tích vô hướng của hai vectơ
Bài tập cuối chương 4
Bài 12: Số gần đúng và sai số
Bài 13: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm