Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 1, BC = căn 2  Gọi M là trung điểm của AD. a) Chứng minh rằng

Bài 4.30 trang 65 SBT Toán 10 Tập 1:

Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 1, $BC=\sqrt{2}.$ Gọi M là trung điểm của AD.

a) Chứng minh rằng các đường thẳng AC và BM vuông góc với nhau.

b) Gọi H là giao điểm của AC, BM. Gọi N là trung điểm của AH và P là trung điểm của CD. Chứng minh rằng tam giác NBP là một tam giác vuông.

Trả lời

a) Đặt $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a},\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{b}$ khi đó $\left|\overrightarrow{a}\right|=1$ và $\left|\overrightarrow{b}\right|=\sqrt{2}.$

Vì AB ⊥ AD nên $\overrightarrow{a}\perp \overrightarrow{b}\iff \overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=\overrightarrow{0}$

ABCD là hình chữ nhật nên cũng là hình bình hành nên ta có:

$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$ (quy tắc hình bình hành)

M là trung điểm của AD nên $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}\overrightarrow{b}$

Suy ra $\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{AB}=\frac{1}{2}\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}$

Khi đó $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BM}=\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right).\left(\frac{1}{2}\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}\right)$

Do đó $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BM}=0\iff \overrightarrow{AC}\perp \overrightarrow{BM}$

Þ AC ⊥ BM.

b) • Xét tam giác ABC vuông tại C, theo định lí Pythagore ta có:

AC² = AB² + BC² = 1 + ${\left(\sqrt{2}\right)}^2$= 3

$\Rightarrow AC=\sqrt{3}$

Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:

AB² = AH.AC 

Khi đó $\overrightarrow{HC}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{HA}=-\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$

Ta có $\overrightarrow{NB}=\overrightarrow{NA}+\overrightarrow{AB}$ (quy tắc ba điiểm)

Vì N là trung điểm của AH nên 

• Có N là trung điểm của HA và P là trung điểm của CD, theo kết quả bài 4.12, trang 58, Sách giáo khoa Toán 10, tập một, ta có:

Khi đó 

Do đó $\overrightarrow{NB}.\overrightarrow{NP}=0\Rightarrow \overrightarrow{NB}\perp \overrightarrow{NP}$

$\Rightarrow$ NB ⊥ NP.

Xem thêm các bài giải SBT Toán lớp 10 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Bài 9: Tích của một vectơ với một số

Bài 10: Vectơ trong mặt phẳng tọa độ

Bài 11: Tích vô hướng của hai vectơ

Bài tập cuối chương 4

Bài 12: Số gần đúng và sai số

Bài 13: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm