Cho tam giác ABC không cân. Gọi D, E, F theo thứ tự là chân các đường cao kẻ từ A, B, C; gọi M, N, P
205
11/01/2024
Bài 4.33 trang 65 SBT Toán 10 Tập 1:
Cho tam giác ABC không cân. Gọi D, E, F theo thứ tự là chân các đường cao kẻ từ A, B, C; gọi M, N, P tương ứng là trung điềm các cạnh BC, CA, AB. Chứng minh rằng:
→MD.→BC+→NE.→CA+→PF.→AB=0
Trả lời

Gọi H và O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
• Vì D, M lần lượt là hình chiếu của H và O lên BC, nên →MD là hình chiếu của →OH trên giá của →BC
Theo định lí hình chiếu (được giới thiệu ở phần Nhận xét của Ví dụ 2, trang 62, Sách Bài tập Toán 10, tập một) ta có:

Chứng minh tương tự ta cũng có:

Từ (1), (2) và (3) ta có:
→MD.→BC+→NE.→CA+→PF.→AB
=→OH.→OC−→OH.→OB+→OH.→OA−→OH.→OC+→OH.→OB−→OH.→OA
= 0
Vậy →MD.→BC+→NE.→CA+→PF.→AB=0.
Xem thêm các bài giải SBT Toán lớp 10 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:
Bài 9: Tích của một vectơ với một số
Bài 10: Vectơ trong mặt phẳng tọa độ
Bài 11: Tích vô hướng của hai vectơ
Bài tập cuối chương 4
Bài 12: Số gần đúng và sai số
Bài 13: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm