Bài 4.31 trang 65 SBT Toán 10 Tập 1:
Cho tam giác ABC có Dựng ra phía ngoài tam giác hai tam giác vuông cân đỉnh A là ABD và ACE. Gọi M, N, P theo thứ tự là trung điểm BC, BD, CE. Chứng minh rằng:
a) AM vuông góc với DE;
b) BE vuông góc với CD;
c) Tam giác MNP là một tam giác vuông cân.
a) +) Vì M là trung điểm của BC nên
+) Theo quy tắc ba điểm ta có:
Mà AB ⊥ AD nên
Và AC ⊥ AE nên
Do đó
Ta có:
•
Và
• AB = AD (do ∆ABD vuông cân tại A)
Và AC = AE (do ∆ACE vuông cân tại A)
•
Và
Do đó
b) Ta có:
Ta có:
•
Và
• AB = AD và AC = AE
c) Ta có:
BE = CD (1)
Xét tam giác BCD có M, N lần lượt là trung điểm của BC, BD
Nên MN là đường trung bình của ∆BCD
và MN // CD (2)
Chứng minh tương tự ta cũng có:
MP là đường trung bình của ∆BCE
và MP // BE (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra MN = MP.
Vì BE ⊥ CD (câu b), MN // CD và MP // BE
Nên MN ⊥ MP
Tam giác MNP có MN = MP và
Suy ra tam giác MNP là tam giác vuông cân tại M.
Xem thêm các bài giải SBT Toán lớp 10 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:
Bài 9: Tích của một vectơ với một số
Bài 10: Vectơ trong mặt phẳng tọa độ