Cho tam giác ABC có góc A < 90 độ  Dựng ra phía ngoài tam giác hai tam giác vuông cân đỉnh A là ABD và ACE

Bài 4.31 trang 65 SBT Toán 10 Tập 1:

Cho tam giác ABC có  $\widehat{A}<90°.$ Dựng ra phía ngoài tam giác hai tam giác vuông cân đỉnh A là ABD và ACE. Gọi M, N, P theo thứ tự là trung điểm BC, BD, CE. Chứng minh rằng:

a) AM vuông góc với DE;

b) BE vuông góc với CD;

c) Tam giác MNP là một tam giác vuông cân.

Trả lời

a) +) Vì M là trung điểm của BC nên $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AM}$

$\Rightarrow \overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)$

+) Theo quy tắc ba điểm ta có: $\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{AD}$

Mà AB ⊥ AD nên $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}=0$

Và AC ⊥ AE nên $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AE}=0$

Do đó $\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{DE}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AD}\right)$

Ta có:

• $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AE}=AB.AE.cos\widehat{BAE}$

Và $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AD}=AC.AD.cos\widehat{CAD}$

• AB = AD (do ∆ABD vuông cân tại A)

Và AC = AE (do ∆ACE vuông cân tại A)

• $\widehat{BAE}=\widehat{BAC}+\widehat{CAE}=\widehat{BAC}+90°$

Và $\widehat{CAD}=\widehat{BAC}+\widehat{BAD}=\widehat{BAC}+90°$

$\Rightarrow \widehat{BAE}=\widehat{CAD}$

Do đó 

b) Ta có: 

Ta có:

• $\overrightarrow{AE}.\overrightarrow{AD}=AE.AD.cos\widehat{DAE}$

Và $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=AB.AC.cos\widehat{BAC}$

• AB = AD và AC = AE

$$\begin{gathered} \widehat{DAE}=360°-\widehat{DAB}-\widehat{BAC}-\widehat{CAE} \\ \Rightarrow \widehat{DAE}=360°-90°- \widehat{BAC}-90° \\ \Rightarrow \widehat{DAE}=180° -\widehat{BAC} \\ \Rightarrow \cos \widehat{DAE }=\cos (180°-\widehat{BAC}) = -\cos \widehat{BAC} \end{gathered}$$

c) Ta có: 

$\Rightarrow$ BE = CD                             (1)

Xét tam giác BCD có M, N lần lượt là trung điểm của BC, BD

Nên MN là đường trung bình của ∆BCD

$\Rightarrow MN=\frac{1}{2}CD$ và MN // CD    (2)

Chứng minh tương tự ta cũng có:

MP là đường trung bình của ∆BCE

$\Rightarrow MP=\frac{1}{2}BE$ và MP // BE      (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra MN = MP.

Vì BE ⊥ CD (câu b), MN // CD và MP // BE

Nên MN ⊥ MP

$\Rightarrow \widehat{NMP}=90°$

Tam giác MNP có MN = MP và $\widehat{NMP}=90°$

Suy ra tam giác MNP là tam giác vuông cân tại M.

Xem thêm các bài giải SBT Toán lớp 10 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Bài 9: Tích của một vectơ với một số

Bài 10: Vectơ trong mặt phẳng tọa độ

Bài 11: Tích vô hướng của hai vectơ

Bài tập cuối chương 4

Bài 12: Số gần đúng và sai số

Bài 13: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm