Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A(–3; 2), B(1; 5) và C(3; −1). a) Chứng minh rằng A, B, C

Bài 4.37 trang 66 SBT Toán 10 Tập 1:

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A(–3; 2), B(1; 5) và C(3; −1).

a) Chứng minh rằng A, B, C là ba đỉnh của một tam giác. Tìm toạ độ trọng tâm G của tam giác ấy.

b) Tìm toạ độ trực tâm H của tam giác ABC.

c) Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Tìm toạ độ của I.

Trả lời

a) Với A(–3; 2), B(1; 5) và C(3; −1) ta có:

$\overrightarrow{AB}=\left(4;3\right)$ và $\overrightarrow{AC}=\left(6;-3\right)$

Vì $\frac{4}{6}=\frac{2}{3}\ne \frac{3}{-3}=-1$ nên hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ không cùng phương

Do đó ba điểm A, B, C không thẳng hàng

Vậy A, B, C là ba đỉnh của một tam giác.

Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên ta có:

$\left\{\begin{array}{l}{x}_G=\frac{-3+1+3}{3}=\frac{1}{3}\\ y_G=\frac{2+5+\left(-1\right)}{3}=2\end{array}\right.$ $\Rightarrow G\left(\frac{1}{3};2\right)$

Vậy tọa độ trọng tâm của tam giác ABC là: $G\left(\frac{1}{3};2\right)$.

b) Vì H là trực tâm của tam giác ABC nên AH ⊥ BC và BH ⊥ AC

Hay $\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{BC}=0$ và $\overrightarrow{BH}.\overrightarrow{AC}=0$ 

Giả sử H(x; y) là tọa độ trực tâm tam giác ABC

Với A(–3; 2), B(1; 5), C(3; −1) và H(x; y) ta có:

$\Rightarrow$ 6x – 3y = –9     (2)

Trừ vế theo vế (2) cho (1) ta có:

5x = 0 $\Rightarrow$ x = 0

$\Rightarrow$ y = 3

$\Rightarrow$ H(0; 3)

Vậy tọa độ trực tâm của tam giác ABC là H(0; 3)

c) Theo kết quả phần a) của Bài 4.15, trang 54, Sách Bài tập, Toán 10, tập một ta có:

$\overrightarrow{AH}=2\overrightarrow{IM}$ với M là trung điểm của BC.

Giả sử I(a; b) là tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Với A(–3; 2), B(1; 5), C(3; −1), H(0; 3) và I(a; b) ta có:

• $\overrightarrow{AH}=\left(3;1\right)$

• M là trung điểm của BC nên $\left\{\begin{array}{l}{x}_M=\frac{1+3}{2}=2\\ y_M=\frac{5+\left(-1\right)}{2}=2\end{array}\right.$

Vậy tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là $I\left(\frac{1}{2};\frac{3}{2}\right).$

Xem thêm các bài giải SBT Toán lớp 10 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Bài 9: Tích của một vectơ với một số

Bài 10: Vectơ trong mặt phẳng tọa độ

Bài 11: Tích vô hướng của hai vectơ

Bài tập cuối chương 4

Bài 12: Số gần đúng và sai số

Bài 13: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm