Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): x – y + z + 3 = 0, (Q): x + 2y – 2z – 5 = 0 và mặt cầu $\left(S\right):x^2+y^2+z^2-2x+4y-6z-11=0$ . Gọi M là điểm di động trên (S) và N là điểm di động trên (P) sao cho MN luôn vuông góc với (Q). Giá trị lớn nhất của độ dài đoạn thẳng MN bằng

Đáp án đúng là: A

Mặt cầu (S) có tâm I (1;-2;3) và bán kính R = 5.

Mặt phẳng (P) có VTPT $\overrightarrow{n_P}=\left(1;-1;1\right)$ , mặt phẳng (Q) có VTPT $\overrightarrow{n_Q}=\left(1;2;-2\right)$ .

Đường thẳng $\Delta$  đi qua hai điểm M,N nhận $\overrightarrow{n_Q}=\left(1;2;-2\right)$  làm VTCP, $\Delta$  luôn cắt (P), gọi $\phi$  là góc giữa $\Delta$  và(P), H là hình chiếu vuông góc của M lên (P).

Ta có $\sin \phi =\left|\cos \left(\overrightarrow{n_P},\overrightarrow{n_Q}\right)\right|=\frac{1}{\sqrt{3}}$

$\Delta MNH$vuông tại H $\Rightarrow MN.\sin \phi =MH$$\Rightarrow MN=\frac{MH}{\sin \phi }=\sqrt{3}.MH$

$MH=d\left(M,\left(P\right)\right)\le R+d\left(I,\left(P\right)\right)=5+3\sqrt{3},\forall M\in \left(S\right)$$\Rightarrow MN=\sqrt{3}MH\le 9+5\sqrt{3}$   .

  .

Vậy giá trị lớn nhất của MN bằng $9+5\sqrt{3}.$