Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên R . Biết f(5) = 1 và tích phân từ 0 đến 1 xf(5x)dx = 1, khi đó tích phân từ 0 đến 5 x^2f'(x)dx bằng

A. -25

B. 23

C. 15

D. $\frac{123}{5}$

Trả lời

Đáp án đúng là: A

Ta có $\underset{0}{\overset{1}{\int }}xf\left(5x\right)\text{d}x=1$

Đặt $u=5x\Rightarrow \text{d}u=5\text{d}x$

Đổi cận: $x=0\Rightarrow u=0$

$x=1\Rightarrow u=5$

Ta được $\underset{0}{\overset{1}{\int }}xf\left(5x\right)\text{d}x=1$$\Rightarrow \underset{0}{\overset{5}{\int }}\frac{u}{5}f\left(u\right)\frac{\text{d}u}{5}=1$

$\iff \frac{1}{25}\underset{0}{\overset{5}{\int }}uf\left(u\right)\text{d}u=1$$\iff \underset{0}{\overset{5}{\int }}uf\left(u\right)\text{d}u=25$

Suy ra $\underset{0}{\overset{5}{\int }}xf\left(x\right)\text{d}x=25$ .

Gọi $I=\underset{0}{\overset{5}{\int }}{x}^2{f}^{\text{'}}\left(x\right)\text{d}x$

Đặt $\left\{\begin{array}{l}u=x^2\\ \text{d}v=f^{\text{'}}\left(x\right)\text{d}x\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}\text{d}u=2x\text{d}x\\ v=f\left(x\right)\end{array}\right.$ .

$I=x^{2}f\left(x\right)\left|\begin{array}{c}5\\ 0\end{array}-\underset{0}{\overset{5}{\int }}f\left(x\right).2x\text{d}x\right.$$=25f\left(5\right)-2\underset{0}{\overset{5}{\int }}xf\left(x\right)\text{d}x$$=25-2.25=-25$