Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’có đáy ABC là tam giác vuông tại A, BC = 2a và góc $\widehat{ABC}=60°$ . Biết tứ giác BCC’B’ là hình thoi có $\widehat{B^{\text{'}}BC}$  nhọn, mặt phẳng (BCC’B’) vuông góc mặt phẳng (ABC), góc giữa hai mặt phẳng (ABB’A’) và (ABC) bằng $45°$ . Thể tích khối lăng trụ bằng

Đáp án đúng là: C

Ta có: $HN\perp AB;B\text{'}N\perp AB$

$\Rightarrow \left(\left(AB{B}^{\text{'}}{A}^{\text{'}}\right),\left(ABC\right)\right)=\left(HN,B^{\text{'}}N\right)=\widehat{B^{\text{'}}NH}=45°$

$\Rightarrow HN=B^{\text{'}}H\Rightarrow B^{\text{'}}N=B^{\text{'}}H.\sqrt{2}$

Xét $\Delta HBN$  có $BN=HN.\cot 60°=\frac{B^{\text{'}}H}{\sqrt{3}}$

Xét $\Delta B^{\text{'}}NN$  có $B^{\text{'}}{B}^2=B^{\text{'}}{N}^2+B{N}^2$

$\iff 4a^2={\left(B^{\text{'}}H.\sqrt{2}\right)}^2+{\left(\frac{B^{\text{'}}H}{\sqrt{3}}\right)}^2$

$\Rightarrow B^{\text{'}}H=\frac{2a\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$

Xét $\Delta ABC$  có $AB=BC.\cos \widehat{ABC}=a$

$\Rightarrow S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}.AB.BC.\sin \widehat{ABC}=\frac{a^2\sqrt{3}}{2}$

Do đó $V_{ABC.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}=S_{\Delta ABC}.B^{\text{'}}H=\frac{a^2\sqrt{3}}{2}.\frac{2a\sqrt{3}}{\sqrt{7}}=\frac{3a^3}{\sqrt{7}}$