Cho hàm số y = f(x) liên tục trên R và có bảng biến thiên như sau:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình $f\left[f\left(\left|x+1\right|\right)-2\right]=m$  có 10 nghiệm phân biệt thuộc đoạn [-3;3]?

Đáp án đúng là: C

Đặt $t=\left|x+1\right|$ . Vì $x\in \left[-3;3\right]$  suy ra $t\in \left[0;4\right]$ .

Với mỗi giá trị $t\in \left(0;2\right]$  cho ta 2 nghiệm $x\in \left[-3;3\right]$ .

Với mỗi giá trị $t\in \left\{0\right\}\cup \left(2;4\right]$  cho ta 1 nghiệm $x\in \left[-3;3\right]$ .

Phương trình trở thành $f\left(f\left(t\right)-2\right)=m$ .

Xét hàm $g\left(t\right)=f\left(f\left(t\right)-2\right)$  trên đoạn [0;4]

$g^{\text{'}}\left(t\right)=f^{\text{'}}\left(t\right).f^{\text{'}}\left(f\left(t\right)-2\right)$

$g^{\text{'}}\left(t\right)=0\iff \left[\begin{array}{l}{f}^{\text{'}}\left(t\right)=0\\ f^{\text{'}}\left(f\left(t\right)-2\right)=0\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}t=1\\ t=-1\left(\text{L}\right)\\ f\left(t\right)-2=-1\\ f\left(t\right)-2=1\end{array}\right.$

$\iff \left[\begin{array}{l}t=1\\ f\left(t\right)=1\\ f\left(t\right)=3\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}t=1\\ t=t_1>2\\ t=t_2>t_1>2\end{array}\right.$

.

Do đó, hàm số $g\left(t\right)=f\left(f\left(t\right)-2\right)$  có tối đa 3 cực trị trên đoạn [0;4].

Suy ra phương trình $f\left(f\left(t\right)-2\right)=m$  có tối đa 4 nghiệm t.

Giả sử cả 4 nghiệm t đó đều thuộc (0;2] thì cho tối đa 8 nghiệm x .

Theo yêu cầu bài toán ra 10 nghiệm nên không có m  thỏa mãn yêu cầu.

Vậy không có giá trị nào của m  thỏa mãn.